Ecuaciones Paramétricas y Cartesianas de Subespacios Vectoriales

Ecuaciones Paramétricas de un Subespacio

Dado un subespacio vectorial U contenido en V (U < V), propio, de un espacio vectorial V de dimensión n, siempre existe al menos una base B' = {u₁, ..., u_r} con 0 < r < n.

Definición 13: Ecuaciones Paramétricas

Se llaman ecuaciones paramétricas de U a las ecuaciones que representan las coordenadas de un vector x ∈ U en función de los parámetros λ₁, ..., λ_r y la base B':

x = λ₁u₁ + ··· + λ_ru_r

Si conocemos las coordenadas de los vectores u_i = a_1ie₁ + ··· + a_nie_n respecto de una base B = {e₁, ..., e_n} del espacio vectorial V, las correspondientes ecuaciones paramétricas en coordenadas son:

x₁ = λ₁a₁₁ + ··· + λ_ra_1r
...
x_n = λ₁a_n1 + ··· + λ_ra_nr

Por tanto, para cada elección de bases de V y de U, respectivamente, tenemos unas ecuaciones paramétricas diferentes. Sin embargo, siempre habrá r parámetros (λ₁, ..., λ_r), ya que la dimensión de U (dim(U) = r) es la misma.

Ejemplo 27

Las ecuaciones paramétricas de cualquier subespacio propio de ℝ² son las de una recta que pasa por el origen de coordenadas:

x₁ = λa
x₂ = λb

En ℝ³, un subespacio propio está determinado o definido por uno o dos vectores linealmente independientes. Por ejemplo, si la base es B' = {(a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃)}, existen dos parámetros.

Definición 14: Rectas y Planos Vectoriales

Por definición, para cualquier espacio vectorial V, siempre:

• Llamamos recta vectorial a un subespacio vectorial de dimensión uno.
• Llamamos plano vectorial a un subespacio vectorial de dimensión dos.

Ecuaciones Cartesianas (o Implícitas) de un Subespacio

Como se vio en la sección anterior, todo subespacio vectorial U ≤ V de dimensión r tiene siempre unas ecuaciones paramétricas con r parámetros:

x₁ = λ₁a₁₁ + ··· + λ_ra_1r
...
x_n = λ₁a_n1 + ··· + λ_ra_nr

Hemos visto también que las ecuaciones paramétricas (y una base) se pueden encontrar resolviendo sistemas lineales homogéneos con n incógnitas. Recíprocamente, siempre que tengamos unas ecuaciones paramétricas con r parámetros, podemos pensar que son las soluciones de un cierto sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, que necesariamente será homogéneo¹.

Todo esto es posible eliminando los r parámetros entre las n igualdades. Al eliminar r parámetros entre n igualdades, se obtienen n - r ecuaciones linealmente independientes.

Lema 15

Dado un subespacio vectorial U de dimensión r en un espacio vectorial V de dimensión n, hemos demostrado que los vectores de U se pueden interpretar como las n-tuplas solución de un sistema lineal homogéneo con n - r ecuaciones y n incógnitas.

Definición 15: Ecuaciones Cartesianas o Implícitas

Llamamos ecuaciones cartesianas o implícitas de U a cualquier sistema lineal homogéneo que tenga exactamente como conjunto solución a los vectores de U.

Observamos que todo subespacio vectorial propio tiene siempre al menos unas ecuaciones paramétricas y otras cartesianas. En cambio:

• El subespacio cero, {0}, tiene n ecuaciones cartesianas (x₁ = 0, ..., x_n = 0) pero no tiene ecuaciones paramétricas (ya que su dimensión es 0).
• El espacio total V tiene ecuaciones paramétricas con n parámetros (por ejemplo, x₁ = λ₁, ..., x_n = λ_n) pero no tiene ecuaciones cartesianas (ya que se necesitarían n - n = 0 ecuaciones linealmente independientes).

¹ Nota: Esto implica que las ecuaciones paramétricas dadas generan todo el subespacio.