Ecuaciones Lineales

Método de Gauss-Jordan.

En esta ayuda veremos en que consiste la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss- Jordan, más conocido como el método de Gauss, aunque es injusto pq Jordan colaboró de la misma manera pero al ir detrás nadie se acuerda de él!!

Lo primero es pasar nuestro sistema de ecuaciones lineales a notación matricial, teniendo en cuenta que cada columna corresponde a los coeficientes de la misma incógnita!! Trabajaremos con la matriz ampliada, te acuerdas? Es la matriz que incluye los términos independientes.

Veamos un ejemplo para digerir tanta palabrería. Vamos a resolver el siguiente sistema por este método:

Primer paso: pasa a notación matricial, de manera que nos queda:

Ya tenemos los ingredientes necesarios para seguir adelante, ahora te dicto la receta. Ésta consiste en hacer ceros los elementos de la matriz que se encuentren situados debajo de la diagonal principal. Si intentas trazar la diagonal de la matriz ampliada, verás que no es posible a no ser que nos torzamos considerablemente, cuando me refiero a la diagonal principal me refiero sin tener en cuenta los términos independientes. Nuestra misión será eliminar los elementos de la matriz coloreados:

Y te preguntarás como narices se hace esto?

Haremos uso del Teorema Fundamental de Equivalencia que enuncia:

Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente.

Te haces una idea de lo que haremos para hacer ceros los elementos coloreados? Para hacerlo necesitaremos agilidad mental y vista para ver que combinaciones lineales tenemos para salir airosos de la situación.

Manos a la obra:

Tenemos la matriz: , empecemos a modificarla pero con cautela, no podemos infringir la ley, puesto que el sistema resultante tiene que ser equivalente!! Empezamos por la segunda hilera, vamos a eliminar el 2. Que podemos hacer? Pues lo primero que se me ocurre es la siguiente ley:

(2') = (2)-2(1)

Esta notación significa que la nueva segunda hilera (2') la conseguiremos restando a la original la primera multiplicada por 2. Para hacer esta operación es muy útil trabajar en vectores ya que si lo hacemos elemento a elemento tardaremos más y tendremos más riesgo a equivocarnos. La ley expresada en vectores nos queda:

(2')= (2,-4,2,1) - 2(1,-3,5,2) = (2,-4,2,1) + (-2,+6,-10,-4)

(2') = (0,+2,-8,-3)

Capitx, ya tenemos el primer cero, esta hilera ya esta lista, vamos a la tercera. Pensamos que combinación nos va bien.

Nota: No hay solo una combinación que vaya bien, hay miles, pero tenemos que coger la que nos haga la vida más fácil. La combinación (2') = (2) - (1) + (3) también nos habría ido bien pero mejor hacer uso de la ley del mínimo esfuerzo, no?

La siguiente combinación lineal que podemos hacer puede ser:

(3') = (3) + (1) = (-1,1,3,1) + (1,-3,5,2) = (0,-2,8,3)

Vamos a ver como vamos, la matriz que hemos logrado con esta transformación es:

Como para llegar aquí hemos seguido al pie de la letra el Teorema Fundamental de Equivalencia, esta matriz es equivalente a la original. Y para tenerlo a punto de caramelo, nos falta hacer una última transformación para convertir el -2 por un cero patatero. Se ve claramente que la ley de transformación que podemos utilizar es:

- (3'') = (3') + (2') = (0,-2,8,3) + (0,2,-8,-3) = (0,0,0,0)

Ha sido pura casualidad que nos de toda la hilera ceros, pero no siempre pasa, es más podemos decir que son casos excepcionales. Esto pasa cuando una hilera es combimación lineal de las restantes, no són entre ellas independientes. La matriz resultante es:

El siguiente paso es el inverso al primero, por tanto ahora pasamos de la notación matricial al sistema de ecuaciones que será equivalente al inicial, pero mucho más fácil de resolver, esta es la moraleja del método. El sistema es:

y las correspondientes soluciones:

Vemos que para cada valor de z tenemos una solución distinta, hay infinitas, por tanto el sistema es compatible (pq tenemos solución) e indeterminado (pq hay infinitas soluciones para el sistema).

Que te ha parecido el método, es entretenido. Pues ya sabes, ahora estas preparado para hacer algunos problemillas, para ver como resulta el guiso después de la receta, pero recuerda ¡¡¡no puedes olvidar ningún ingrediente!! ¡¡¡Ciao!!!