Ecuación del Plano en el Espacio R3: Ejemplos y Conceptos Clave

Ecuación del Plano en el Espacio R3

Ecuación General del Plano

La ecuación general del plano es de la forma:

ax + by + cz + d = 0

Esto significa que un punto de coordenadas R(x, y, z) pertenece al plano si y solo si cumple la igualdad anterior (a, b, c y d son números reales fijos).

Ecuación Vectorial Paramétrica de un Plano

Dado un punto P(a, b, c) y dos vectores direccionales no paralelos ~a = (a1, a2, a3) y ~b = (b1, b2, b3), la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P y queda determinado por las direcciones de ~a y ~b es:

~r = ~p + λ * ~a + μ * ~b

La variación de los parámetros λ y μ van determinando los distintos puntos R(x, y, z) del plano. Igualando por coordenadas esta última expresión se obtiene la ecuación paramétrica del plano:

• x = a + λ * a1 + μ * b1
• y = b + λ * a2 + μ * b2
• z = c + λ * a3 + μ * b3

Ejemplo 4.16

Determine la ecuación vectorial, paramétrica y general del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 2) y C(0, 1, 2).

Solución: Para resolver este problema consideremos como punto fijo del plano el punto A(1, 1, 0) y como direcciones los vectores A~B = ~b − ~a = (0, -1, 2) y A~C = ~c − ~a = (-1, 0, 2), luego la ecuación del plano pedido será:

~r = ~a + λ * (~b − ~a) + μ * (~c − ~a)

(x, y, z) = (1, 1, 0) + λ * (0, -1, 2) + μ * (-1, 0, 2)

Igualando por coordenadas:

• x = 1 - μ
• y = 1 − λ
• z = 2λ + 2μ

Despejando λ y μ de las dos primeras ecuaciones y reemplazando en la tercera obtenemos:

2x + 2y + z = 4

que es la ecuación del plano pedido. Es directo verificar que las coordenadas de los tres puntos verifican la ecuación.

Ecuación Normal del Plano

Otra forma de determinar un plano es con un punto P(a, b, c) del plano más un vector ~n = (n1, n2, n3) que sea perpendicular a todo el plano (llamado vector normal). ¿Qué debe cumplir un punto R(x, y, z) para pertenecer a este plano?

R(x, y, z) pertenece al plano si y solo si R~P = (x, y, z) − (a, b, c) es perpendicular a ~n. Entonces la ecuación normal del plano es:

(x − a, y − b, z − c) · (n1, n2, n3) = 0

Observación 4.13: Para pasar a la forma general a partir de la ecuación normal:

(x − a, y − b, z − c) · (n1, n2, n3) = 0 , (x − a) * n1 + (y − b) * n2 + (z − c) * n3 = 0, n1 * x + n2 * y + n3 * z − a * n1 − b * n2 − c * n3 = 0

Esta última es la ecuación general del plano.

Observación 4.14: Si tenemos la ecuación general del plano:

ax + by + cz + d = 0

Entonces el vector ~n = (a, b, c) es un vector normal para el plano.

Ejemplo 4.17

Considere el punto P(2, 0, 1) y la recta l: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t * (-2, -1, 1) con t en R

a) Encuentre la ecuación general del plano que contiene al punto P y es perpendicular a la recta l.

Solución:

a) El vector director de l nos sirve como vector normal del plano y tenemos un punto del plano. Entonces podemos usar la ecuación normal del plano:

(x − 2, y − 0, z − 1) · (-2, -1, 1) = 0

-2x - y + z + 3 = 0