Dominio de las Operaciones Multiplicativas y Divisiones en la Educación Primaria

Raíz Cuadrada

Dado un número natural, se define su raíz cuadrada como otro número natural b tal que su cuadrado sea igual a a. Cuando la raíz cuadrada de un número natural a es un número natural, decimos que a es un cuadrado perfecto y que la raíz es exacta. Si la raíz exacta de un número natural no existe, podemos hallar la raíz entera. Se define la raíz entera de un número natural como el mayor número natural cuyo cuadrado es menor que dicho número. A la diferencia entre el número dado y el cuadrado de la raíz entera se le llama resto. El resto de la raíz entera cumple que es menor que el doble de la raíz, más uno.

Problemas Multiplicativos y de División

Clasificación de las Situaciones que se Resuelven con Multiplicaciones y Divisiones

Vamos a analizar las distintas situaciones problemáticas con las que han de enfrentarse los alumnos. Clasificaremos los problemas de multiplicación y división atendiendo a las distintas situaciones reales para ver cómo estas situaciones afectan a los factores de la operación a realizar.

Tipo I: Problemas de Grupos Iguales

Son los más simples y los que nos sirven para introducir la multiplicación y la división. En estos problemas se repite una misma cantidad un número de veces y como resultado obtenemos un total de esa cantidad producto. Según desconozcamos la medida que tiene cada grupo, el número de grupos o el total, tendremos un problema de distinto tipo. Las tres cantidades que aparecen en el problema son: el número de bolsas, el número de cromos en cada bolsa y el número total de cromos. Cuando el número total de cromos es la incógnita, el problema es de multiplicación. Cuando el número de cromos que hay en cada bolsa o grupo es desconocido, se dice que es un problema de división-partitiva o división-reparto. Cuando el número de grupos o bolsas es desconocido, se dice que es un problema de división-agrupamiento, división-cuotitiva o división-medida.

Estrategias para la Resolución de los Problemas de Tipo I

Al igual que ocurre con los problemas de suma y resta, al principio, los niños resuelven los problemas de multiplicación y división modelizando la acción y las relaciones descritas en el enunciado del problema. Con el paso del tiempo, estas estrategias de modelización son sustituidas por estrategias más eficientes basadas en el conteo, la suma y la resta. Usando materiales didácticos como recursos educativos, los niños podrán modelizar los problemas que deben resolver. El material didáctico es todo aquel objeto artificial o natural que puede usarse, en determinadas circunstancias, para que produzca un aprendizaje significativo en el alumno.

Tipo II: Problemas Relativos a Dos Tipos de Medidas

Los problemas de multiplicación y división que hemos visto hasta ahora tienen que ver con el agrupamiento y reparto de colecciones de objetos discretos que pueden contarse. Hay problemas relacionados con éstos en los que tratamos con razones y comparaciones multiplicativas más que con colecciones de objetos contables. En los problemas que abordamos ahora, hay que hacer uso de la relación entre dos medidas diferentes: una proporcionalidad entre dos medidas. Esta relación se denomina razón o tasa. Por ejemplo: kilómetros por hora; euros por litro; gramos por litro. Entre estas medidas se establece una relación de varios a uno, como cuando se dice “este coche circula a 100 kilómetros por hora”. Normalmente usamos la palabra “por” o “cada” para indicar esa relación. En los problemas de razón no hay necesariamente grupos separados de objetos, pero sí tienen cantidades en ellos que los niños pueden representar utilizando contadores. Estos problemas pueden resultar algo más difíciles para los niños, pero no están fuera de su alcance.

Estrategias de Resolución de Problemas de Razón, del Tipo II

Estos problemas no son exactamente iguales que los problemas de agrupamiento y reparto, dado que cada uno de ellos supone la presencia de una razón más que de un número de objetos. En cada uno de los problemas que siguen, la razón es el número de kilos por día. A pesar de que los ocho días no son realmente ocho grupos y los 4 o los 32 kilogramos no son objetos contables, estos problemas tienen algunas características similares a los de los problemas de agrupamiento y de reparto y pueden, más o menos, pensarse de la misma manera. Un niño puede pensar sobre cuánto engorda un elefante en un día, en dos días y así sucesivamente.

1. Estrategias de conteo para la resolución de problemas de razón en los que se desconoce el total.
   Ejemplo: Un bebé de elefante engorda 4 kilogramos diarios. ¿Cuántos kilos engorda en ocho días? Este problema puede ser resuelto por conteo, formando ocho grupos de contadores con cuatro contadores en cada grupo. Cada grupo de 4 contadores podría representar lo que engorda un bebé de elefante en un día y el número total de contadores representaría el total de kilos ganados.
2. Estrategias de conteo para la resolución de problemas de razón en los que se desconoce el número de grupos.
   Ejemplo: Un bebé de elefante engorda 4 kilogramos diarios. ¿Cuánto tardará en engordar 32 kilogramos? Por conteo puede resolverse este problema tomando un conjunto de 32 contadores, quitando grupos de 4 y contando el número de grupos quitados para determinar cuántos días tardará el elefante en engordar 32 kilogramos.
3. Estrategias de conteo para la resolución de problemas de razón en los que se desconoce la razón.
   Ejemplo: Un bebé de elefante ha engordado 32 kilogramos en 8 días. Si engorda lo mismo cada día, ¿cuánto engorda en un día? Esta situación puede resolverse distribuyendo los 32 contadores en ocho pilas, que representan los días transcurridos para, a continuación, contar el número de objetos en cada pila, determinando con ello cuánto engorda el elefante diariamente. Según hemos visto, en los problemas de tasas intervienen tres cantidades: un número de objetos, el total y la tasa que les afectan. Y, a pesar de que los problemas no describen acciones en las que aparecen conjuntos separados de objetos, los niños pueden resolverlos de la misma forma que resuelven los problemas de agrupamiento y reparto.

Tipo III: Problemas de Situaciones Comparativas

En todos los problemas descritos hasta ahora, todos los números que aparecen representan algún tipo de cantidad: el número de grupos, el número de objetos en cada grupo, el número total de objetos, el precio, la razón, etc. Los problemas de comparación multiplicativa suponen la comparación de dos cantidades de modo que una cantidad se describe como un múltiplo de la otra. La relación que hay entre las cantidades será descrita en términos de cuántas veces es una mayor que la otra. El número que cuantifica esta relación no es una cantidad que podamos identificar. Ejemplo: En la clase de primero de primaria tienen un hámster y un ratoncito. El hámster pesa tres veces más que el ratoncito. El ratoncito pesa 200 gramos. ¿Cuánto pesa el hámster? En estas situaciones intervienen dos cantidades del mismo tipo: referente y comparado, que se relacionan por un factor de comparación. Si la cantidad que hace de referente es más pequeña que la comparada, entonces estamos ante una comparación de aumento, que vendrá expresada normalmente con la expresión “n veces más” o “n veces mayor”. Por el contrario, si el referente es mayor que la cantidad que hace de comparado, estamos ante una situación de disminución que vendrá expresada con la fórmula “n veces menos” o “n veces menor”. Los problemas de comparación presentan más dificultades para los alumnos que los de grupos iguales y los de tasas o razón. En primer lugar, hay que tener un gran dominio de las situaciones de grupos iguales para poder abordar correctamente las comparaciones. Además, hay que dominar el vocabulario implicado en estas situaciones (doble, mayor, menor, tercio...). De todas formas, no todas las situaciones expuestas en este tipo de problemas implican el mismo grado de dificultad. Aquellas en las que hay que averiguar el referente son, en general, las más complicadas y también presentan más dificultad las situaciones que implican disminución que las de aumento, puesto que los alumnos tienden siempre a establecer comparaciones en forma de aumento y no como disminución. Por lo tanto, la introducción de este tipo de problemas se debe hacer cuando el nivel de los alumnos lo permita por haber conseguido un dominio suficiente de las situaciones de grupos y, además, comprendan bien el significado de términos tales como “seis veces más que”, terminología que no se usa en los problemas de agrupamiento y de razón. Se ha de tener en cuenta que, mientras en los problemas básicos de multiplicación y división aparecen solamente enteros, los problemas de razón, precio y comparación multiplicativa pueden incluir la multiplicación y la división de fracciones (o de números decimales).

Tipo IV: Problemas de Productos de Medidas

Una característica importante de todos los tipos de problemas que hemos visto hasta ahora es que no son simétricos, esto es, los números que aparecen en ellos tienen referentes específicos, y los referentes no son intercambiables. Cuando en un problema se habla de cinco bolsas de galletas con siete galletas en cada bolsa, los niños, al principio, piensan en el 5 en relación con el número de bolsas y en el 7 en relación con el número de galletas en cada bolsa. Resuelven el problema formando cinco grupos con cinco objetos en cada grupo. Para la mayoría de los niños pequeños no resulta obvio el hecho de que pueden resolver también el problema formando siete grupos con cinco objetos en cada grupo, o también contando de 5 en 5. En algún momento, los niños tendrán que aprender que 5x7 es igual a 7x5, pero es importante darse cuenta de que los niños pequeños no comprenden de inmediato que los dos números que aparecen en el problema de multiplicación que acabamos de presentar pueden ser intercambiados o que los métodos que se utilizan para resolver un problema de división-medida también pueden aplicarse a un problema de división partitiva. Hay problemas de multiplicación y de división, sin embargo, en los cuales los factores juegan papeles equivalentes. Diremos que estos problemas son “simétricos”.