Dominio, Continuidad y Otros Conceptos Fundamentales en Funciones

1. Dominio y Continuidad

Tipos de Funciones y su Dominio:

• Polinómicas: Dominio: ℝ (todos los números reales)
• Racionales: Dominio: ℝ - {valores que anulan el denominador}
• Irracionales de índice impar: Dominio: ℝ (todos los números reales)
• Irracionales de índice par: Dominio: (0, +∞)
• Logarítmicas: Dominio: (0, +∞)
• Exponenciales: Dominio: ℝ (todos los números reales)
• Trigonométricas:
  • Seno y Coseno: [0, π]
  • Tangente: ℝ (todos los números reales)

2. Periodicidad

Solo las funciones trigonométricas son periódicas.

3. Simetrías

• Par: f(-x) = f(x)
• Impar: f(-x) = -f(x)

4. Asíntotas

• Asíntota Vertical (A.V.): Existe A.V. en x = número
• Asíntota Horizontal (A.H.): Existe A.H. en y = número
• Asíntota Oblicua (A.O.): y = mx + n. Si m = 0, no tiene A.O.

5. Puntos de Corte con los Ejes

• Eje OX: y = 0
• Eje OY: x = 0

6. Máximos, Mínimos y Monotonía

Monotonía:

1. Calculamos la primera derivada (f'(x)).
2. La igualamos a cero y resolvemos la ecuación para calcular x.
3. Estudiamos el signo de la primera derivada a la derecha e izquierda de x.

• f'(x) = + → Función creciente
• f'(x) = - → Función decreciente

Máximos y Mínimos:

1. Calculamos la segunda derivada (f''(x)).
2. Sustituimos en la segunda derivada los valores de x obtenidos en el estudio de la monotonía.

• f''(x) = + → Mínimo ( , )
• f''(x) = - → Máximo ( , )

7. Curvatura y Puntos de Inflexión

Igualamos la segunda derivada a cero, calculamos x y estudiamos el signo a la izquierda y a la derecha de x en la segunda derivada. Los valores de x son los puntos de inflexión.

• f''(x) = - → Cóncava
• f''(x) = + → Convexa

8. Representación

9. Recorrido