Dominando la Multiplicación y la División: Una Guía Completa

MULTIPLICACIÓN

Recuerda esto: “todo el que sabe sumar sabe multiplicar, porque multiplicar es sumar repetidamente la misma cantidad”. Desde pequeños nos han dicho que la multiplicación es una suma reiterada. Sin embargo, desde el punto de vista matemático existe otra interpretación, llamada producto cartesiano. El segundo concepto necesita de la teoría de conjuntos para poder entenderse y debido a que esta parte de las Matemáticas está en desuso, es complicado tratarlo aquí. Por tanto, nos quedamos con la primera interpretación.

Un primer contacto con la multiplicación

Como siempre, la mejor forma de introducir la multiplicación es hacerlo mediante ejemplos y que el niño observe como surge de forma natural. Podemos plantear una pregunta del tipo: Cuatro gallinas, ¿cuántas patas tienen? Propongamos que dibujen en primer lugar las gallinas y que después las completen con sus respectivas patas. La respuesta a nuestra pregunta podría darla contando el número total de patas (8).

Pasando a papel

Ahora le pediremos que exprese como una suma lo que acaba de hacer. Para ello (como cada una tiene dos patas), a cada gallina se le asocia un 2, y lo que hacemos es sumar los correspondientes a cada una de las 4 gallinas, es decir, sumamos 4 veces el 2. Sin mencionarlo, acabamos de introducir la multiplicación de números naturales, que no es más que una suma donde todos los sumandos son iguales. Para finalizar, introduciremos las multiplicaciones donde uno de los factores es 0. No es difícil si razonamos de la misma forma que lo hemos hecho con anterioridad: 0 x 3 es 0, sumado tres veces. Si representamos esta situación tenemos:

Por tanto 0 x 3 = 0.

Formalizando

Al realizar la multiplicación de un número a por un número b, que se expresa a x b, lo que se hace es sumar b veces el número a. Por ejemplo, cuando multiplicamos 3 x 5, lo que hacemos es sumar 5 veces el número 3. Igual que en las operaciones anteriores, hay que utilizar los términos adecuados.

ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN

Los requisitos previos para desarrollar ese algoritmo son los siguientes:

1. Construcción y memorización de los hechos multiplicativos básicos.
2. La descomposición de un número por el valor posicional del sus cifras.
3. La multiplicación por potencias de 10.
4. La multiplicación por múltiplos de 10 y sus potencias.
5. Dominio de las propiedades multiplicativas.

La construcción del algoritmo de la multiplicación y, en consecuencia, la forma que adopta la operación de números de dos dígitos entre sí o la de un número de dos dígitos por uno de tres, es la forma final de un proceso que parte de los hechos multiplicativos básicos.

Casos

Multiplicador de un dígito

El multiplicador tiene un dígito y el multiplicando dos o tres. Ambos tienen una estructura similar: en ellos se aplica sistemáticamente la propiedad distributiva y pueden surgir problemas con las “llevadas”.

Ejemplo:

Multiplicar 27 x 3. La primera forma de abordar esta multiplicación será, a través de la suma reiterada.

La prueba del 9

La prueba del 9 es un pequeño truco matemático que nos ayuda a saber si el resultado de una multiplicación es incorrecto. Si el resultado de la prueba es incorrecto la multiplicación está mal hecha, mientras que si el resultado es correcto no asegura al 100% que esté bien realizada.

832 x 327 = 272064

Básicamente se trata de sumar uno a uno los números de los factores y del resultado.

832 → 8 + 3 + 2 = 13 → 1 + 3 = 4

327 → 3 + 2 + 7 = 12 → 1 + 2 = 3

272064 → 2 + 7 + 2 + 0 + 6 + 4 = 21 → 2 + 1 = 3

Si la multiplicación esté bien hecha, la multiplicación de los números asociados a cada uno de los factores debe coincidir con el número asociado al resultado.

4 x 3 = 12 → 1 + 2 = 3, que coincide con el número asociado a 272064.

DIVISIÓN

Si ha de dividir cuatro patatas entre cinco niños, lo mejor que puede hacer es puré (Recomendación popular)

Un primer contacto con la división

Recuerda que la acción asociada a la división es repartir, y el alumno ya ha tenido algún contacto con ella: cuando se reparten cartas, cuando se reparten caramelos en un cumpleaños,… Igual que hemos hecho con anterioridad, introduciremos la operación con actividades. Para empezar, nos centraremos en divisiones exactas. Una de las actividades que se pueden plantear es repartir, de forma exacta, un conjunto de objetos entre tres o cuatro personas. En principio, la forma más sencilla de hacerlo sería repartiendo de uno en uno y de forma ordenada entre cada persona. Una vez terminado el proceso, el número común de objetos de todas las personas será la respuesta a la actividad planteada.

Pasando a papel

Llegó el momento de pasar la actividad anterior al papel. Para ello, consideraremos un número, que corresponderá a una cantidad de puntos que vamos a repartir entre un número de personas. Por ejemplo, queremos repartir 8 puntos entre 4 personas. La pregunta es siempre la misma: si el reparto se hace siempre de forma que todas las personas reciban la misma cantidad de puntos al terminar, ¿cuántos puntos recibe cada una? Comenzamos a distribuir los puntos entre las personas, uno a uno y de forma ordenada, y vamos contando los puntos que le asignamos a cada persona, hasta llegar a la cantidad total de puntos que había que repartir. Con este procedimiento podemos responder a la pregunta planteada.

Formalizando

Ahora pasamos a formalizar la división (de momento sólo exacta). El resultado de dividir un número a entre otro b, escrito a:b, es al número común c de elementos que tendrían b personas al repartir a objetos entre ellas de forma que al final todas tengan los mismos elementos. A esta operación la llamaremos división de a entre b, y a c le llamaremos cociente. Esto, se escribe de la siguiente forma:

Como siempre, es conveniente que el niño se familiarice con los nombres que reciben cada uno de los términos de la división.

Nota: Si el resultado de una división no es exacto, hemos de tener en cuenta un elemento más, el resto.

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

El aprendizaje de la división siempre debe ser posterior al de la multiplicación. No sólo porque se enfoca como inversa de ésta, sino porque el alumno encuentra más dificultades en realizarla.

Casos

Divisor de una sola cifra

Antes hemos tratado el caso en el que el dividendo constaba de dos cifras y el divisor de una (repartir 12 caramelos entre 4 niños), resoluble utilizando la multiplicación. Cuando la primera cifra del dividendo es mayor que el divisor la situación cambia, ya que el cociente tendrá dos cifras. En esta situación habrá que recurrir a otros métodos:

Tienes 85 euros en monedas y quieres cambiarlos por billetes de 5. ¿Cuántos billetes obtendrás?

El proceso reiterativo es muy largo en este caso. Es previsible que, antes o después, se opte por simplificar el proceso, utilizando la expresión:

Este es el método llamado sustractivo por el que se trata globalmente al dividendo, intentando alcanzarlo a través de distintos múltiplos del divisor. El dividendo. Algunos maestros tienden a prescindir con suma celeridad de la resta del 85 en el dividendo pero con la misma celeridad, ello lleva a olvidar el fundamento de lo que se está haciendo: encontrar un múltiplo del divisor que se acerque lo más posible al dividendo. Mientras que el caso de la división ABC:d con A < d es, en gran medida, reducible al anterior, cuando A> d el mismo problema se plantea con el uso de centenas. Posiblemente sea éste el momento de introducir al alumno en el método distributivo.

Tres niños organizan un puesto de venta de chucherías. Al final de la tarde tienen una ganancia de 74 céntimos. ¿Qué parte de dicha ganancia corresponde a cada uno? La situación puede representarse a través de 7 tiras cuadriculadas y cuatro cuadrados pequeños. Se procede de la siguiente forma:

1. Se dan dos tiras a cada uno (20 céntimos)
2. Queda una tira por repartir
3. Como no se puede repartir así, se transforma en 10 cuadrados pequeños
4. Tenemos ahora 14 cuadrados
5. Corresponden 4 cuadrados a cada uno (4 céntimos)
6. Quedan dos cubos por repartir
7. Cada niño se ha llevado 24 céntimos y sobran dos.