Distribuciones de Probabilidad: Bernoulli, Binomial, Poisson y Normal

Distribuciones de Probabilidad Discretas

Prueba de Bernoulli

Un experimento o prueba aleatoria es de Bernoulli cuando solo se pueden dar dos posibles resultados: éxito o fracaso (A, ). A∪ = E; A ∩ = ∅.

Variable de Bernoulli

Una variable aleatoria es de Bernoulli si toma los valores 0 o 1: 0 si al realizar el experimento se obtiene fracaso ( = ∅) ; 1 si se obtiene éxito (A). Sea p = P(A). Entonces 1-p = P( = ∅) = q; p+q = 1.

Definición: Sea X una variable aleatoria de Bernoulli. Su función de cuantía se puede expresar por . Diremos que X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p, se representa por X B(p).

Función de cuantía

Sea X B(p). Su función de cuantía o de probabilidad se puede expresar como

Propiedad: Sea , entonces = p. Demostración: = E =

Distribución Binomial

Consideramos n repeticiones independientes de una prueba de Bernoulli. Sea X la variable aleatoria que representa el número de éxitos entre las n repeticiones. En este caso, X = .

Definición: Se dice que la variable X sigue una distribución binomial de parámetros n y p (n ∈ ℕ, p ) si cuenta el número de éxitos que se obtienen al realizar n pruebas independientes de un experimento de Bernoulli con probabilidad de éxito p. Se representa por

Demostración: ¿Es P(X=x) una función de cuantía? Sea X una distribución binomial: ;
i)
ii) (Binomio de Newton)

Definición: Binomial (Distribución)

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n (n ) y se representa por . Su función de masa es

Observación: Si => ; x=0,1. Si x=0, P(X=0)=q; si x=1, P(X=1)=p.

Propiedades:

Sea

Función de distribución: f(x)=P(x . Simetría: Sea y sea Y la variable que cuenta el número de fracasos en el experimento que modeliza ; P(X=x)=P(Y=n-x).

Distribución de Poisson

Proceso de Recuento

Un proceso es de recuento si cuenta el número de ocurrencias de un fenómeno en un ámbito geográfico o temporal determinado. Se realiza a través de la distribución de Poisson.

Características:
1) El número de sucesos en un periodo de tiempo o lugar es independiente de los demás periodos o lugares.
2) La probabilidad de que ocurra un suceso es proporcional al tamaño del periodo o lugar considerado.
3) La probabilidad de ocurrencia en un periodo o lugar pequeño es prácticamente nula.

Definición: Se dice que la v.a. X sigue una distribución de Poisson de parámetro y se representa por si su función de cuantía es: P(X=x) = , x = 0,1,2,3...

Comprobación de que es una función de cuantía:
1) P(X=x) = > 0
2) = =

Características:
1) Función de distribución: f(x) =P(X
Esperanza: =
Varianza: Sea , entonces Var( )

Propiedades:
Reproductiva: Sea , entonces X₁ + X₂
2) Teorema de Raikov: Si , entonces se puede descomponer como suma de dos variables de Poisson y , de tal forma que
3) Distribución de Poisson como límite de la Binomial: Sea con n→ , p→0 y n·p = constante. Entonces se puede aproximar X a través de la distribución de Poisson de parámetro , y se escribe . En la práctica, la aproximación es válida si n>30; p ; np

Distribuciones de Probabilidad Continuas

Distribución Uniforme (o Rectangular)

Sea X una variable aleatoria que toma valores en un intervalo finito de la recta real. X sigue una distribución uniforme si asigna la misma probabilidad a subintervalos de la misma longitud.

Función de densidad

Supongamos que X sigue una función en el intervalo (a,b). Su función de densidad sería 1 = ; f(x) = . Se dice que X sigue una distribución uniforme de parámetros a y b ( ) y se representa por X si su función de densidad es: f(x)
i) f(x)

Características:
1) Función de distribución: f(x) =
2) Esperanza: E(X) = b² – a² / 2(b-a) = a+b/2 = A+B/2
Varianza: Var(x) = E(X²)-E(X)² ; E(X²) = = b³-a³/3(b-a)
E(X²) = b³-a³/3(b-a)
Var(x) = (b-a)²/12

Distribución Normal o de Gauss

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución normal de parámetros µ (µ ) y si su función de densidad es f(x) = . . Método abreviado: X

Comprobar que es función de densidad:
i) f(x) 0
ii) dx = 1 =>

Representación gráfica de la función de densidad f(x)

1) Es continua y su dominio es todo ℝ.
2) Es simétrica respecto de µ. E(X) = µ.
3) Tiene asíntota horizontal en y=0.
4) Es creciente en ( )
5) Tiene un máximo en x=µ y el valor en el máximo es f(µ) =
6) Tiene dos puntos de inflexión en µ - y en µ +

Características:
1) Función de distribución: f(x) = P(x dx
2) Esperanza: E(X) = µ
3) Varianza: Var(x) =

Observación: A veces la definición de la normal es N(µ, )

Tipificación

Si X , entonces la variable Z = X-µ / sigue una distribución N(0,1). Se la denomina distribución normal estándar. Su función de densidad será: f(z) = 1/ .

Proposición: Si Z . Áreas bajo la curva normal (0,1): Z dz

Propiedades

1) Sean X₁, X₂... X_n independientes tales que cada una de ellas X_i . Entonces, la suma de ellas ( ) o una combinación lineal de todas ellas son variables normales: a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n + b a₁µ₁ + ... a_nµ_n, .
E(a₁x₁ + ... a_nx_n + b) = a₁E(x₁) + ... + a_nE(x_n) + b
Var(a₁x₁ + ... a_nx_n + b) = a₁²Var(x₁) + ... a_n²Var(x_n) =
2) Sean X₁, X₂... X_n variables aleatorias independientes tales que X_i . Entonces: µ₁ + ... µ_n, )
3) Sean X₁, X₂... X_n variables aleatorias independientes tales que X_i = X₁ + ... X_n
4) Sean X₁, X₂... X_n variables aleatorias independientes tales que X_i todas iguales. Entonces = X₁ + X₂ + ... X_n / n, combinación lineal de variables normales. = X₁ + X₂ + ... X_n / n ); (µ, ) = N(µ, ). Error estándar de la media ( ).

Distribución Normal: Teorema de Moivre

Sea . Si n → , entonces Y = X - np / N(0,1). Requisitos: n

Proceso de corrección por continuidad de Fisher

Sea X una variable aleatoria discreta que se puede aproximar mediante la normal. Es preciso establecer correspondencia entre los valores discretos que toma X y los intervalos en la distribución normal: P(X=x) = P( , continuo, discreto.

Teorema del Límite Central (Lindeberg-Levy)

Sea X₁, X₂... X_n una colección de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con media µ y desviación típica σ conocidas. Entonces, si n es grande (100, 50, 30, etc.), la suma de estas variables sigue una distribución normal: Y = X₁ + ... + X_n N(nµ, ). De forma alternativa: Y - nµ /
E(Y) = E(X₁ + ... + X_n) =
Var(Y) = Var(X₁ + ... + X_n) = n

Versión de la Media

Sean X₁, X₂... X_n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media µ y varianza . Si n es grande, se tiene: X = X₁ + ... + X_n / n ) = N(µ; ). Alternativamente: - µ / ) N(0,1).
E(X) = E(X₁ + X₂ + ... X_n / n) = nµ / n = µ
Var(x) = Var(X₁ + X₂ + ... X_n / n) = (1/n²)·n· =