Determinación de paralelismo y perpendicularidad de rectas en el espacio

Ejemplo 4.11 (C1). Determine si son paralelas las rectas de ecuación
L1 : (x − 1)/2 = (y − 3)/3 = (z − 4)/1 y L2 : x = 4t , y = 6t , z = 2t.
Solución: El vector director de L1 es ~ d1 = (2, 3, 1) y el vector director 

de L2 es ~ d2 = (4, 6, 2). Dividiendo cada coordenada notamos que:
2/4 = 3/6=1/2
Por lo tanto son paralelos. De hecho ~ d1 = 1/2~ d2.

Definición 4.9. Dos RECTAS PERPENDICULARES si y solo si

 estas se intersectan y además sus vectores directores son perpendiculares.
Observación 4.10. Para que dos rectas en el plano sean perpendiculares

, basta con que sus vectores directores sean perpendiculares, pues 

siempre se van a intersectar.
Ejemplo 4.12 (C2). Determine si las rectas de ecuación
~p = (1, 0, 1) + t(2, 2, 3) y x = −4 + 5t , y = −1 + t , z = 5 − 4t
son perpendiculares.
Solución: Escribiendo la segunda recta en su forma vectorial:
~p = (−4,−1, 5) + t(5, 1,−4).
Primero notemos que sus vectores directores son perpendiculares:
(2, 2, 3) · (5, 1,−4) = 10 + 2 − 12 = 0.
Ahora basta verificar si se intersectan ambas rectas (para poder decir que

 son perpendiculares).
Igualamos ambas rectas por coordenadas (usando otro parámetro Landa

 en vez de t en una de las dos rectas):
1 + 2t = −4 + 5 Landa
2t = −1 + Landa
1 + 3t = 5 − 4 Landa
De donde = 1 y t = 0. Por lo tanto para estos valores, ambas rectas coinciden

 en un mismo punto, es decir, se intersectan.

Proyecciones
Definición 4.10. Considere dos vectores ~a y ~b, se define la proyección

 ortogonal de ~a sobre ~b como el vector:
~P~b(~a) =(a*b/(Norma b cuadrado)* b

Observación 4.11. El vector Proyección y el vector ~b son siempre 

PARALELOS, mientras
que P~b(~a) −~a es perpendicular a ~b

Teorema 4.3. (Propiedades de la proyección ortogonal)
Si P~b(~a) denota la proyección ortogonal de ~a sobre ~b entonces
1. P~b(~b) =~b
2. Si ~a es perpendicular a ~b, entonces P~b(~a) = ~0.
3. P~b(lANDA* ~a) = lANDA*P~b(~a), para cualquier número real .
4. P~b(~a +~c) = P~b(~a) + P~b(~c)
Ejemplo 4.13 (C2). Considere la recta L1 : (x − 1)/2 =(y − 2) =(z −3)/2 . 

Encuentre un vector director para L1 de norma 1 y la ecuación de la recta

 L2 que es perpendicular a L1 y que pasa por el punto (1, 2, 1).
Solución 1: (Sin usar proyección) Tenemos que el vector (2, 1, 2) es un

 vector director de L, pero cuya norma es Raíz (4 + 1 + 4) = 3. 

Entonces tomamos el vector:
~ d1 = (2/3, 1/3, 2/3)
como vector director de L1, el cual tiene norma es 1.
Escribamos la ecuación de la recta L2:
~r = (1, 2, 1) + ~ Landa* d2.
Si ~ d2 = (a, b, c) entonces
(a, b, c) ·= (2/3,1/3,2/3)= 0 implica 2a + b + 2c = 0