Determinación de las ecuaciones de una recta y su intersección

P(2, 5, 6) y que tiene
(x − 2)/2 = (1 − y)/3 = (2z + 1)/3
Solución: Reescribiendo L2
(x − 2)/2 = (y − 1)/−3 = (z + 1/2/)/(3/2)
Entonces un vector director para L2 sería ~d = (2,−3, 3/2) y vector posición sería 

~a = (2, 1,−1/2)
Como L1 y L2 tienen vectores directores paralelos, podemos considerar el mismo 

~d = (2,−3, 3/2) como vector director de L1. Además 

~p = (2, 5, 6) es un vector posición de L1, entonces su
~r = (2, 5, 6) + Landa* (2,−3, 3/2)
Luego su ecuación paramétrica es:
x = 2 + Landa*2 
y = 5 − Landa*3 
z = 6 + Landa*(3/2)
Finalmente su ecuación cartesiana:
(x − 2)/2 = (y − 5)/−3 = (z − 6)/(3/2)
.
Ejemplo 4.7.Determine si la recta L1 que pasa por los puntos P(1, 3,−2) y
Q(5, 8,−5) se intersectacon la recta L2 de ecuación (x − 2)/2=(1 −y)/3=(2z +1)/3
Solución: Una ecuación vectorial de L1 es:
~r = ~p + Landa*(~q − ~p) = (1, 3,−2) + Landa*(4, 5,−3)
Mientras que una ecuación vectorial de L2 es:
~r =(2, 1,−1/2)+ μ*(2,−3,3/2)
Supongamos que sí existe un punto de intersección entre ambas rectas, es decir

, existe
un valor de y un valor de μ tales que
(1, 3,−2) + Landa* (4, 5,−3) =(2, 1,−1/2)+ μ(2,−3,3/2)
Igualando por coordenadas obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1 + Landa*4 = 2 + 2μ
3 + Landa*5 = 1 − 3μ
−2 − Landa*3 = −1/2 + 1/2*μ
Usando las dos primeras ecuaciones obtenemos que Landa=

 − 1/22 , sin embargo usando la segunda y tercera ecuación, nos da 

que Landa= − 7/13 , lo cual es una contradicción que nace del hecho 

de suponer que sí existe un punto de intersección. Por lo tanto las
rectas no se intersectan.