Derivadas Parciales, Sistemas y Modelos: Conceptos Clave y Métodos Numéricos

¿Cuándo y por qué se usan las derivadas parciales? Se usan para describir las variaciones de las propiedades físicas y los errores de los sistemas.

Diferencias entre RK y Euler: Difieren solamente en el modelo de las pendientes, es decir, RK se basa en pasos anteriores y Euler solo se basa en el paso anterior.

¿Qué es un sistema real? Un sistema real se define como un agregado o conjunto de objetos reunidos en alguna interacción o interdependencia regular.

¿Qué es un modelo? Es la representación o abstracción del sistema real.

Tips sobre Métodos Numéricos

El método del punto medio es mejor que el método de Euler debido a que se utiliza una estimación de la pendiente en el punto medio del intervalo de predicción.

Los errores local y global del método del punto medio son O(h^3) y O(h^2), respectivamente.

Un sistema rígido es aquel que tiene componentes que cambian rápidamente, junto con componentes de cambio lento.

Para que un método sea iterativo, la solución debe estar explícita dentro de la ecuación.

Se utiliza el término de endógeno para describir las actividades que ocurren dentro del sistema, y el término exógeno para describir las actividades del medio ambiente que afectan al sistema.

Rigidez: Es un sistema rígido aquel que tiene componentes que cambian rápidamente junto con componentes de cambio lento.

Método de paso múltiple: Se basa en que una vez empezado el cálculo se tiene a disposición 2 puntos anteriores.

Método de Heun: Consiste en desarrollar un predictor que tenga un error local de O(h^3). Esto se obtiene usando el método de Euler y la pendiente. Para que un método sea interactivo, la ecuación solución debe estar de manera explícita dentro de la ecuación. Es un método predictor-corrector; usa 2 pendientes, una en el punto inicial y una en el punto final. Ambas derivadas se promedian con la finalidad de obtener una mejor estimación de la pendiente. Esta pendiente promedio se utiliza después para extrapolar linealmente desde Y_i hasta Y_i+1 con el método de Euler.

Método de Milne: Es el método de pasos múltiples más común basado en la forma de integración de Newton-Cotes. La inestabilidad de Milne se debe al corrector.

Modelo econométrico: Se utiliza extensamente en los estudios de sistemas económicos.

¿Por qué Euler es de 1er orden? Porque la primera derivada ofrece una estimación directa en la pendiente en x_i.

Análisis del Error para el Método de Euler

Errores de truncamiento o de discretización originados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y. Errores de redondeo causados por el número limitado de cifras significativas que una computadora puede retener. Error de truncamiento local que resulta de una aplicación del método considerado en un solo paso. Error de truncamiento propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos, la suma de ambos es el error de truncamiento global o total.

Nota: La serie de Taylor permite solo una estimación del error de truncamiento local, es decir, el error generado durante un solo paso del método. Se puede reducir el error disminuyendo el tamaño de paso. El método dará como resultado predicciones sin error si la función que se analiza, es decir, la solución de la ecuación diferencial es lineal debido a que en una línea recta la segunda derivada es cero.

El método de Euler requiere de muchos cálculos para obtener niveles de error aceptables. Una manera de reducir el error sería incluir términos de orden superior en la expansión de la serie de Taylor para la solución.

Mejoras del método de Euler: Un motivo fundamental de error en el método de Euler es suponer que la derivada al inicio del intervalo es la misma durante todo el intervalo.