Derivadas, Diferenciales y Teorema de Taylor en Funciones de Varias Variables

Funciones Derivadas y Funciones de Clase C¹

Si f : C → R^q definida en un abierto C ⊆ R^p es derivable respecto de un vector u ≠ 0 en todos los puntos de C, se llama función derivada de f respecto de u a la función

D_u(f) : C → R^q, x ↦ D_uf(x).

Sea f : C → R^q función definida en C ⊆ R^p abierto y a ∈ C.

• Se dice que f es de clase C⁰ en a si f es continua en a, y que es de clase C⁰ en C si f es continua en C.
• Se dice que f es de clase C¹ en a si f tiene sus p derivadas parciales en un entorno de a y éstas son continuas en a.
• Se dice que f es de clase C¹ en C si f es de clase C¹ en todo punto a de C.

Sea f : C → R^q función definida en C ⊆ R^p abierto.

Se dice que f es de clase C^r en C si f tiene todas sus derivadas parciales de orden r en C, y estas son continuas en todo punto a de C.

Las funciones de clase C² son muy importantes. Permiten asegurar la igualdad de las derivadas parciales cruzadas, es decir, que para ellas es cierto en cada a ∈ C que

∂²f/∂x_i ∂x_j(a) = ∂²f/∂x_j ∂x_i(a) para cada i, j.

Funciones Diferenciables

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C. Se dice que f es diferenciable en a cuando se cumple una de las condiciones siguientes (que son equivalentes):

• Existe una aplicación lineal, denominada diferencial de f en a y que denotaremos df(a) : R^p → R^q, de modo que se cumpla

lím_x→a (f(x) - f(a) - df(a)(x - a)) / ||x - a|| = 0

• Existe una aplicación lineal df(a) : R^p → R^q y una función (definida en un entorno del origen para el cual a + h ∈ C) tipo h ↦ (h) tal que

f(a + h) - f(a) = df(a)(h) + (h)||h|| y lím_h→0 (h) = 0.

Funciones Diferenciables con Valores Reales

Sea f : C → R una función definida en un conjunto C ⊆ R^p, diferenciable en a ∈ C.

Se llama gradiente de f en a, ∇f(a), al vector de R^p que tiene por componentes las derivadas parciales de f en a:

∇f(a) = (∂f/∂x₁(a), . . . , ∂f/∂x_p(a))

Entonces:

• df(a)(h) = ∇f(a) · h (∀ h ∈ R^p)
• D_uf(a) = ∇f(a) · u (∀ u ∈ R^p, u ≠ 0).

Regla de la Cadena

Sean f : C → R^q, g : D → R^r funciones definidas en abiertos C ⊆ R^p y D ⊆ R^q con f(C) ⊆ D.

Regla de la cadena. Si f es diferenciable en x, y g es diferenciable en y = f(x), entonces g ◦ f es diferenciable en x, y se cumple

d(g ◦ f)(x) = dg(f(x)) ◦ df(x)

Matricialmente significa que

J(g◦f)(x) = Jg(f(x)) · Jf(x)

Podemos deducir además

∂(g ◦ f)_j/∂x_i(x) = ∂g_j/∂y₁(f(x)) ∂f₁/∂x_i(x) + · · · + ∂g_j/∂y_q(f(x)) ∂f_q/∂x_i(x).

Diferenciales de Orden 2

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C.

Si f es de clase C² en a, se llama diferencial segunda de f en a a la aplicación (cuadrática).

Funciones Homogéneas

Definición. Sea f : C → R una función real definida en un abierto C ⊆ R^p. Se dice que f es homogénea de grado α ≠ 0 en C si para cada x ∈ C y cada t > 0 con tx ∈ C se verifica

f(tx) = t^αf(x).

Teorema de Taylor

Para estudiar una cierta función en puntos cercanos a uno dado, en determinadas condiciones podemos dar una expresión polinómica que es “suficientemente parecida” a la original. El sentido en que se habla de este parecido lo da el comportamiento del resto: por esta razón, puede considerarse la parte más relevante del resultado.

Teorema de Taylor. Sea f : C → R una función real definida en un abierto C ⊆ R^p y sean a, a + h ∈ C dos puntos de C tales que [a, a + h] ⊆ C. Si f es de clase Cⁿ en todos los puntos de [a, a + h], entonces existe ξ ∈ (a, a + h) tal que

f(a+h) = f(a)+df(a)(h)+ 1/2!d²f(a)(h)+· · ·+ 1/(n - 1)! d^n-1f(a)(h)+r_n(h)

con r_n(h) = 1/n! dⁿf(ξ)(h) (denominado resto de Lagrange).