Derivabilidad, Extremos Relativos, Teoremas de Rolle y Valor Medio: Conceptos Clave

Derivabilidad y Extremos Relativos

1. Crecimiento y Decrecimiento

Teorema: Si una función f(x) derivable en un punto x = a tiene (f’(a) > 0, f’(a) ) entonces f(x) es estrictamente (creciente, decreciente) en el punto x = a.

2. Extremos Relativos

Definición: Si f’(a) = 0, se dice que x = a es un punto estacionario de f(x).

Teorema: Si f(x) es derivable y tiene un extremo relativo en x = a, entonces f’(a) = 0. Es consecuencia del resultado anterior, porque si f’(a) fuese (>0,x = a.

Nota: Como hemos visto, f’(a) = 0 no es condición suficiente para que exista extremo. Si f’(a) = 0, se dice que x = a es un punto crítico o estacionario de f(x).

Teorema: Si una función f(x) verifica f’(a) = 0 y (f’’(a) > 0, f’’(a) ) entonces la función f(x) tiene un (mínimo, máximo) relativo en sentido estricto en x = a.

Demostración: Supongamos que f’’(a) > 0. Entonces f’(x) es estrictamente creciente en x = a, ∃E(a,δ) / ∀x∈ E(a,δ): (xa⇒f’(x)>f’(a)=0). Es decir, a la (izquierda, derecha) de x=a, (f’(x) , f’(x) > 0) por tanto, f(x) es estrictamente (decreciente, creciente). Luego f(x) tiene un mínimo relativo en sentido estricto en x = a.

Teoremas Fundamentales

1. Teorema de Rolle

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y cumple que f(a) = f(b), entonces ∃c∈(a,b) tal que f’(c) = 0, es decir, en un punto interior del intervalo la recta tangente a la función es horizontal.

Demostración:

Caso 1: f(x) es una función constante en [a, b]. Entonces, ∀x∈[a,b] se tiene que f(a) = f(b) = f(x), luego ∀x∈(a,b) se cumple que f’(x) = 0.

Caso 2: f(x) no es constante en [a, b]. Al ser f(x) continua en [a, b], por el teorema de Bolzano-Weierstrass, posee un máximo y un mínimo absolutos, es decir, ∃α,β∈[a,b] tales que ∀x∈[a,b] se cumple que f(α) ≤ f(x) ≤ f(β). Como la función no es constante, el máximo y el mínimo han de ser distintos, luego f(α) , y, por tanto, al menos uno de los extremos ha de ser relativo, ya que f(a) = f(b). Luego ∃c∈(a,b) tal que f’(c) = 0.

2. Teorema del Valor Medio

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces ∃c∈(a,b) tal que f’(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Demostración: Definimos ρ(x) como la diferencia entre las ordenadas de la función f(x) y la recta y(x) que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). P(x)=f(x)-[f(a)+(f(b)-f(a)/b-a. (x-a)]

Interpretación geométrica: El teorema del valor medio dice que si se cumplen las condiciones iniciales exigidas, habrá un punto c perteneciente al intervalo (a, b) en el que la recta tangente a la función sea paralela a la cuerda que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Otra forma de expresar este teorema es mediante la denominada fórmula de los incrementos finitos: f(b) - f(a) = f’(c)(b - a)

Concavidad y Convexidad (su relación con la derivada)

Teorema: Si una función f(x) tiene (f’’(a) > 0, f’’(a) ), entonces f(x) es estrictamente (convexa, cóncava) en el punto x = a.