Demostraciones de Convergencia y Continuidad en Sucesiones y Series de Números Reales
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Demostración de Convergencia de Sucesiones Monótonas Acotadas
Sea {Xn}n ∈ ℕ una sucesión de números reales monótona creciente. Se probará que si {Xn}n ∈ ℕ está acotada, entonces es convergente.
Sea M el ínfimo de las cotas superiores de {Xn}. Veamos que M es el límite de {Xn}. Si no lo fuera, existiría un r tal que un entorno B(M, r) dejaría fuera infinitos puntos de la sucesión. Como {Xn} es creciente, no habría ningún punto de la sucesión en dicho entorno, pues si
Xt ∉ B(M, r) ⇒ Xn ∉ B(M, r) ∀ n > t, lo cual contradice que B(M, r) deje fuera infinitos puntos de la sucesión.
Así, M – r sería una cota superior de la sucesión, lo que lleva a una contradicción, puesto que M – r < M y M es el ínfimo de las cotas superiores (de forma análoga se demostraría para el caso de cota inferior).
Convergencia de Series y Condición Necesaria
Se probará que una condición necesaria para que la serie de números reales ∑Xn sea convergente es que lím Xn = 0. Se enunciará un contraejemplo para demostrar que dicha condición no es suficiente.
Adaptando el criterio de Cauchy, se tiene que ∑Xn, serie de números reales, es convergente si y solo si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ ℕ tal que ∀n ≥ n0, ∀p > 0 ⇒ |Xn+1 + ... + Xn+p| < ε.
Para justificar la necesidad que expresa la condición, basta con tomar p = 1 en el criterio de Cauchy.
Como contraejemplo para demostrar que dicha condición no es suficiente, se propone el caso de la serie armónica de grado 1. Concretamente, se observa que ∑1/n diverge a pesar de que su término general es un infinitésimo.
Para ver que esta serie diverge, se verá que no es convergente y, por ser una serie de términos positivos, se tendrá la divergencia garantizada.
Para negar la convergencia, resulta conveniente el criterio de Cauchy. Este no se satisface porque, fijado ε = 1/2, y tomando un n0 ∈ ℕ cualquiera, se observa que sumar, a partir del término n (i.e., n = n0), otros n términos consecutivos (i.e., p = n), proporciona una suma de:
1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n) > 1/(2n) + ... + 1/(2n) = n ⋅ 1/(2n) = 1/2 = ε
lo cual asegura que la condición de Cauchy no puede ser satisfecha.
Continuidad de Funciones Diferenciables
Sea f: C → ℝq una función definida en un abierto C ⊆ ℝp y sea a ∈ C. Se probará que si f es diferenciable en a, entonces es continua en a.
f es diferenciable en a si y solo si existe una aplicación lineal df(a): ℝp → ℝq y una función ε(h) (definida en un entorno del origen para el cual a + h ∈ C) tal que:
f(a + h) – f(a) = df(a)(h) + ε(h) ||h|| y lím ε(h) = 0
Siguiendo esta notación, f es continua en a si lím f(a + h) = f(a).
lím f(a + h) = f(a) + lím df(a)(h) + lím ε(h) ||h||
lím ε(h) ||h|| = 0
lím df(a)(h) = lím h1df(a)(e1) + ... + lím hndf(a)(en) = 0
h = (h1, ..., hn)
siendo {e1, ..., en} la base canónica de ℝp.
Luego, lím f(a + h) = f(a), quedando demostrado que si f es diferenciable en a, entonces es continua en a.