Criterio de Routh-Hurwitz para la Estabilidad de Sistemas LTI

Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz

Principio del Método

Es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI). Para poder aplicarlo, la ecuación característica del sistema debe ser un polinomio con coeficientes reales y constantes. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la estabilidad es que todos los coeficientes del polinomio sean diferentes de cero y tengan el mismo signo.

El criterio de Routh-Hurwitz está basado en la construcción de la tabla de Routh (o tabulación de Routh).

Una vez completada la tabla de Routh, se observan los coeficientes de la primera columna. La cantidad de cambios de signo entre los coeficientes de esta primera columna es igual a la cantidad de raíces de la ecuación característica localizadas en el semiplano derecho del plano complejo s. Es decir, para que el sistema sea estable, todos los coeficientes de la primera columna deben tener el mismo signo (y ser positivos, asumiendo que el primer coeficiente del polinomio característico, a_n, es positivo).

Casos Especiales en la Tabla de Routh

Existen situaciones particulares donde la tabulación de Routh no puede continuar directamente:

• Caso 1: Cero en la primera columna

  El primer elemento de una fila es cero, pero los demás elementos de esa fila no lo son. En esta situación, los coeficientes de la siguiente fila serían infinitos, impidiendo continuar con la tabulación. Para resolverlo, se sustituye el cero por un valor positivo muy pequeño, usualmente denotado por épsilon (ε), y se continúa con la tabulación normalmente, evaluando los signos al final haciendo tender ε a cero.

• Caso 2: Fila completa de ceros

  Todos los coeficientes de una fila son cero. Esto indica la presencia de raíces simétricas respecto al origen (reales opuestas, imaginarias conjugadas o pares complejos conjugados simétricos respecto al eje imaginario). Para continuar, se forma un polinomio auxiliar, A(s), utilizando los coeficientes de la fila inmediatamente anterior a la fila de ceros. Luego, se deriva este polinomio auxiliar con respecto a s (dA(s)/ds). Los coeficientes resultantes de esta derivada reemplazan la fila de ceros, y se continúa con la tabulación.

Concepto de Estabilidad en Sistemas LTI

Definición de Estabilidad BIBO

Un sistema es estable si, ante una entrada acotada (limitada en amplitud), presenta una salida también acotada. Esto se conoce como estabilidad BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output).

Condición de Estabilidad en el Plano s

Existen varios métodos para determinar la estabilidad de un sistema.

Un sistema LTI es estable si todas las raíces de su ecuación característica (también llamados polos de la función de transferencia en lazo cerrado) se localizan estrictamente en el semiplano izquierdo del plano complejo s (dominio de Laplace).

Es suficiente que exista una sola raíz de la ecuación característica localizada en el semiplano derecho para que el sistema sea inestable. Si existen raíces simples sobre el eje imaginario (jω) y ninguna en el semiplano derecho, el sistema es marginalmente estable. Sin embargo, si existen raíces múltiples (de orden superior) sobre el eje imaginario, el sistema es inestable.

Consideraciones Adicionales

Si se introduce intencionalmente un integrador en el sistema (lo que añade un polo en el origen, s=0), la estabilidad del sistema resultante dependerá de la ubicación de los demás polos. Un polo simple en el origen, sin otros polos en el semiplano derecho o en el eje imaginario, conduce a estabilidad marginal. No obstante, en muchos contextos de control, un sistema con un integrador puede requerir un diseño cuidadoso para asegurar la estabilidad general.

Si un sistema se diseñó específicamente para funcionar como un oscilador (lo que implica polos en el eje imaginario), puede considerarse 'estable' en el contexto de su funcionamiento deseado (mantener una oscilación sostenida), aunque técnicamente sea marginalmente estable según la definición estricta de estabilidad BIBO.