Conceptos matemáticos avanzados: asíntotas, dominio, cálculo integral y más

Asíntotas

Ejemplo: f(x) = x² / (4 - x)

Importante: Si una función tiene asíntota horizontal, NO tendrá oblicua.

Asíntota Vertical

Se expresa como x = k. En el ejemplo, x = 4. La asíntota vertical se encuentra donde la función NO existe, es decir, en el dominio.

Asíntota Horizontal

Se expresa como y = k. Se calcula como:

lim_x→∞ f(x)

• Si el exponente de x es mayor en el numerador, el límite es infinito y NO hay asíntota horizontal.
• Si la x de mayor exponente está en el denominador, el límite vale cero y SÍ hay asíntota horizontal en y = 0.
• Si los exponentes son iguales en el numerador y el denominador, el límite vale la división de los coeficientes de las x mayores arriba y abajo.

Asíntota Oblicua

Se expresa como y = mx + n. Para que haya asíntota oblicua, la x del numerador tiene que ser 1 grado mayor que la del denominador.

Ejemplo: y = -x - 4. Se obtiene dividiendo x² / (4 - x), que resulta en -x - 4. Para representarla, se hace una tabla de valores.

Dominio

• Si no es una fracción, el dominio es todo R (y no tendría asíntotas).
• Si es una fracción, por ejemplo: x² / (4 - x), el denominador se iguala a cero. El dominio sería todo R menos el resultado de la ecuación. En este caso, dominio = R - {4}.

Puntos de corte

Ejemplo: x² / (4 - x)

• Eje y (0, 0): x = 0 → f(0) = 0² / (4 - 0) = 0
• Eje x (0, 0): y = 0 → f(x) = 0 → x² / (4 - x) = 0 → x² = 0

Regionalismo

Se colocan los valores del punto de corte y del dominio en un eje de coordenadas. Se dan valores a la x en la función principal entre dichos valores. Si la operación resuelta da un resultado positivo, se tacha el lado contrario.

Simetrías

• f(-x) = f(x): Par
• f(-x) = -f(x): Impar
• Si no es par ni impar, no tiene simetría.

Integrales

• ∫K dx = K · x (Ejemplo: ∫6 dx = 6x)
• ∫xⁿ dx = x⁽ⁿ⁺¹⁾ / (n+1) (Ejemplo: ∫x dx = x² / 2)
• ∫Kxⁿ dx = K · x⁽ⁿ⁺¹⁾ / (n+1) (Ejemplo: ∫5x² dx = 5x³ / 3)
• Ejemplo: ∫(6 - x + 5x²) dx = ∫6 dx - ∫x dx + ∫5x² dx = 6x - x² / 2 + 5x³ / 3

Ejemplo: Hallar el área de un recinto limitado por la parábola de ecuación y = 4 - x², la recta x = 1 y la recta x = 2.

A = ∫₁² (4 - x²) dx = ∫₁² 4 dx - ∫₁² x² dx = [4x]₁² - [x³ / 3]₁² = (4 · 2 - 4 · 1) - (8/3 - 1/3) = 4 - 7/3 = 5/3 u²

Inferencia estadística

Ejemplo: Una muestra aleatoria simple (n) de 25 estudiantes responde a una prueba de inteligencia espacial, obteniendo una media (x̄) de 100 puntos. Se sabe por experiencia que la variable "inteligencia espacial de todos los estudiantes" es normal con una desviación típica (σ) igual a 10, pero se desconoce la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia espacial media de todos los estudiantes, con un nivel de confianza (Z_α/2) de 0,99?

(x̄ - Z_α/2 · σ / √n; x̄ + Z_α/2 · σ / √n)

Z_α/2 = 1 - 0,99 = 0,01 → 0,01 / 2 = 0,005 → 1 - 0,005 = 0,995 (esta cifra se mira en la tabla y se suman la parte de arriba y la de abajo) = Z_α/2 = 2,575

Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento

Ejemplo: f(x) = -2x² + 8x + 3

1. Se hace la derivada y se iguala a cero: f'(x) = -4x + 8 = 0 → x = 2
2. Se hace una recta con el resultado de la derivada y se marca dicho resultado. Se dan valores tanto por encima como por debajo de dicho resultado. Si el resultado es positivo, crece; si es negativo, decrece.
3. Para sacar el otro máximo, se sustituye el resultado de la derivada que antes se igualó a cero en la función principal f(x): f(2) = -2(2)² + 8(2) + 3 = 11. Máximo: (2, 11)
4. De la recta anteriormente dibujada, se saca la conclusión de:
   • Crece (-∞, 2)
   • Decrece (2, ∞)