Conceptos Fundamentales de Topología en Espacios Métricos R^n

Distancia en Rⁿ

Definición

Sean x e y dos puntos de Rⁿ, x = (x₁, ..., x_n) e y = (y₁, ..., y_n). Definimos la distancia entre x e y, d(x, y) como:

d(x, y) = √((x₁ - y₁)² + ... + (x_n - y_n)²).

Conjuntos Abiertos y Cerrados

Definición

Sea x ∈ Rⁿ y sea ε > 0 un número real.

• Llamaremos bola abierta con centro x y radio ε al conjunto: B(x, ε) = {y ∈ Rⁿ ; d(x, y)
• Llamaremos bola cerrada con centro x y radio ε al conjunto: B(x, ε) = {y ∈ Rⁿ ; d(x, y) ≤ ε} (Nota: La definición original decía "distinto de e", lo cual es incorrecto)
• Llamaremos bola abierta reducida (respectivamente bola cerrada reducida) con centro x y radio ε al conjunto B*(x, ε) = B(x, ε) - {x}.

Propiedades de los Conjuntos Abiertos y Cerrados

Proposición

Una bola abierta es un conjunto abierto.

Demostración

Sea una bola abierta de Rⁿ, B(a, ε). Hemos de probar que es un entorno de todos sus puntos, es decir, que ∀x ∈ B(a, ε) existe una bola B(x, δ) ⊂ B(a, ε). En efecto, sea δ a, x). Si y ∈ B(x, δ) entonces:

d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) a, x) + δ a, x) + ε - d(a, x) = ε

Por tanto, y ∈ B(a, ε), es decir, B(x, δ) ⊂ B(a, ε), como queríamos probar.

Proposición

Sea {U_i}_i∈I un conjunto cualquiera de abiertos de Rⁿ, de cardinal finito o no. La unión de todos ellos, U = ⋃_i∈I U_i, es un conjunto abierto.

Demostración

Si x ∈ U entonces x ∈ U_j para algún j ∈ I. Como U_j es abierto, existe ε tal que B(x, ε) ⊂ U_j ⊂ U.

Proposición

Sean U₁, ..., U_p abiertos de Rⁿ. La intersección de todos ellos, U = U₁ ∩ ... ∩ U_p, es un conjunto abierto.

Demostración

Si U = ∅, no hay nada que demostrar puesto que ∅ es abierto. Sea x ∈ U = U₁ ∩ ... ∩ U_p, entonces x ∈ U_i, ∀i = 1, ..., p. Como todos los U_i son abiertos, para cada uno de ellos existe ε_i tal que B(x, ε_i) ⊂ U_i. Todas estas bolas son concéntricas, de modo que la de radio menor ε = mín(ε₁, ..., ε_p) está contenida en todas las demás y, como consecuencia, B(x, ε) ⊂ U.

Puntos Interiores. Interior de un Conjunto

Definición

Sea A un subconjunto de Rⁿ, y x ∈ Rⁿ. Diremos que x es un punto interior de A si A es un entorno de x. Llamaremos interior de A, Int(A), al conjunto de puntos interiores de A.

Puntos Adherentes, de Acumulación y Aislados de un Conjunto

Definición

Sea A un subconjunto de Rⁿ y x ∈ Rⁿ.

1. x es un punto adherente a A si en cualquier bola centrada en x hay puntos de A, es decir: ∀ε > 0, B(x, ε) ∩ A ≠ ∅.
2. x es un punto de acumulación de A si en cualquier bola centrada en x hay puntos de A, distintos del propio x, es decir: ∀ε > 0, B*(x, ε) ∩ A ≠ ∅.
3. Diremos que x es un punto aislado de A si es adherente pero no de acumulación.

Proposición

Sea A un subconjunto de Rⁿ y x ∈ Rⁿ. x es un punto de acumulación de A si y solo si en toda bola centrada en x hay infinitos puntos de A.

Demostración

Supongamos que no fuera cierto y que hay una bola centrada en x que solo contiene un número finito de puntos de A; B(x, ε) ∩ A = {a₁, ..., a_p}. Sea ε' x, a₁), ..., d(x, a_p)). Entonces B*(x, ε') ∩ A = ∅.

Proposición

Sea A un subconjunto de Rⁿ y x ∈ Rⁿ. Si x es un punto aislado de A, entonces existe una bola centrada en x en la que el único punto de A que pertenece a la bola es el propio x, es decir: ∃ε > 0; B(x, ε) ∩ A = {x}.

Demostración

Si x es aislado, entonces es adherente, pero no de acumulación. Según la proposición anterior, habría una bola centrada en x que solo contendría un número finito de puntos de A distintos del propio x. La bola buscada es cualquiera de radio menor que el mínimo de las distancias de estos puntos de A a x.

Frontera y Cierre de un Conjunto

Definición

Sea A un subconjunto de Rⁿ y x ∈ Rⁿ. x es un punto frontera de A si toda bola centrada en x contiene simultáneamente puntos de A y de su complementario, es decir: ∀ε > 0; B(x, ε) ∩ A ≠ ∅ y B(x, ε) ∩ (Rⁿ - A) ≠ ∅.

Llamaremos frontera del conjunto A, ∂A, al conjunto de puntos frontera de A. Llamaremos cierre, adherencia o clausura de A, y lo denotaremos por A, a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. Por la definición, y dado que la intersección de cualquier familia de cerrados es un cerrado, A es el mínimo cerrado que contiene a A, y contiene a todos los puntos de acumulación de A.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Definición/Teorema

Si el conjunto A ⊂ Rⁿ está acotado y tiene infinitos puntos, entonces existe algún punto de acumulación de A.