Conceptos Fundamentales de Teoría de Conjuntos: Correspondencia, Aplicaciones y Relaciones

Correspondencia

Sean X e Y conjuntos, una correspondencia entre X e Y es una terna (X, Y, G) donde G es un subconjunto del producto cartesiano de X con Y. Al conjunto X se le llama conjunto inicial, al conjunto Y se le llama conjunto final y a G se le llama grafo o gráfica de la correspondencia. Si el par (X, Y) pertenece a G, se dice que X se corresponde con Y.

Producto Cartesiano

Dados X e Y conjuntos, llamaremos producto cartesiano de X e Y al conjunto formado con todos los pares ordenados que pueden formarse con elementos de X e Y: X × Y = {(a, b) / a ∈ X y b ∈ Y}.

Imagen

Si a pertenece a X, llamaremos imagen de a, f(a), al conjunto de elementos de Y que se corresponden mediante f con a. f(a) = { b ∈ Y / (a, b) ∈ G} ⊆ Y.

Aplicación

Una correspondencia f: X → Y se dice que es una aplicación cuando todo elemento de X tiene una y solo una imagen en Y: ∀ a ∈ X, ∃1 b ∈ Y tal que f(a)=b.

Aplicación Inyectiva

Dada una aplicación f:X=>Y, diremos que es inyectiva si cada elemento de Y es imagen a lo más de un elemento de X, es decir, x ≠ x’ ⇒ f(x) ≠ f(x’), (equiv. f(x) = f(x’) ⇒ x = x’).

Aplicación Sobreyectiva

Dada una aplicación f:X ->Y, diremos que es sobreyectiva si todo elemento de Y es imagen al menos de un elemento de X. ∀ b ∈ Y, ∃ a ∈ X tal que f(a)= b.

Aplicación Biyectiva

Una aplicación se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez, ∀ b ∈ Y, ∃1 a ∈ X tal que f(a)= b.

Relación Binaria

Sea X un conjunto. Llamamos relación binaria en X a todo subconjunto R del Producto cartesiano X x X, es decir, R ⊆ X × X. Diremos que “a está relacionado con b por R”, y lo notaremos por a R b, si y sólo si (a,b)∈ R.

Relación de Equivalencia

Una relación binaria R en X se dice que es una relación de equivalencia si verifica simultáneamente las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Relación de Orden

Una relación binaria R sobre un conjunto X diremos que es una relación de orden si verifica simultáneamente las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Cota Superior

Sea X un conjunto ordenado por una relación de orden R y A contenido en X. Llamaremos cota superior a un elemento x perteneciente a X tal que a =< x para todo a perteneciente a A. CS(A) = {x ∈ X / y <= x para todo y ∈ A}.

Cota Inferior

Sea X un conjunto ordenado por una relación de orden R y A contenido en X. Llamaremos cota inferior a un elemento x perteneciente a X tal que a >= x para todo a perteneciente a A. CI(A) = {x ∈ X / y <= x para todo y ∈ A}.

Acotado Superiormente

Diremos que A está acotado superiormente si existe una cota superior.

Acotado Inferiormente

Diremos que A está acotado inferiormente si existe una cota inferior.

Acotado

Si A está acotado superiormente e inferiormente, diremos que está acotado.

Máximo

Se dice que un elemento m perteneciente a A es el máximo de A si es una cota superior de A. Es único.

Mínimo

Se dice que un elemento m perteneciente a A es el mínimo de A si es una cota inferior de A. Es único.

Bien Ordenado

Un conjunto ordenado X se dice bien ordenado si todo subconjunto no vacío de X tiene un elemento mínimo.

Totalmente Ordenado

Un conjunto ordenado X se dice totalmente ordenado si cualquier par de elementos de X son comparables. En otro caso se dice que X es un orden parcial.

Maximal

Sea X un conjunto ordenado. Un elemento x perteneciente a X se dice maximal de X si la relación x <= a para algún a perteneciente a X implica que x=a.

Conjunto Cociente

Sea R una relación de equivalencia en X. Llamaremos conjunto cociente de X por la relación R, y lo notaremos por X/R, al conjunto formado por todas las clases de equivalencia en X determinadas por R. X/R = {ā / a ∈ X }