Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística: Una Introducción Completa

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística

Definiciones Básicas

• Experimento aleatorio: Es aquel que tiene dos o más resultados posibles y no se sabe con certeza cuál ocurrirá.
• Fenómeno determinístico: Tiene dos o más resultados y se sabe con certeza cuál ocurrirá.
• Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un fenómeno aleatorio.
• Suceso o Evento: Es un subconjunto del espacio muestral.
• Suceso simple: Aquel que solo tiene un elemento.
• Suceso Imposible: Es aquel que nunca ocurre y se asocia con el conjunto vacío (∅).
• Suceso Seguro: El que siempre ocurre, se asocia con el conjunto universal (U).
• Suceso Contrario de A: La no ocurrencia de A. Se asocia con el conjunto complementario (A').
• Suceso Compuesto: Dados dos sucesos A y B, el suceso compuesto significa la ocurrencia simultánea de todos y cada uno de ellos (A ∩ B).
• Suceso Total: Dados los sucesos A y B, el suceso total significa la ocurrencia de al menos uno de tales sucesos (A ∪ B).
• Probabilidad: Es la medida de la incertidumbre, es un número entre 0 y 1.
• Multiplicación de Probabilidades: Se aplica cuando seleccionamos unidades de muestreo sin reposición.
• Independencia de sucesos: Se asocia con la selección de unidades de muestreo con reposición.

Principios y Teoremas

• Principio de la multiplicación: Si un evento puede realizarse de η₁ maneras diferentes y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de η₂ maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto η₁ * η₂ * ...
• Permutaciones: Es uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con todos o con parte de los elementos de un conjunto.
• Combinaciones: Es un arreglo de cierto(s) número de objetos tomados de un conjunto de η objetos, de tal forma que el orden no importa.

Variables Aleatorias y Distribuciones

• Variable Aleatoria: De un espacio muestral U, es una función de U en R (números reales) tal que la imagen inversa de cada intervalo R es un evento de U.
• Distribución de Bernoulli: Se origina cuando se realizan experimentos aleatorios dicotómicos, uno de ellos es el Éxito (valor 1 a la variable, p) y el otro el Fracaso (valor 0 a la variable, q).
• Distribución Binomial: Se origina cuando se realizan varios ensayos de Bernoulli, con las siguientes características: la probabilidad de éxito en cada ensayo es p y la de fracaso es q; en todos los ensayos se mantiene el valor de probabilidad de éxito (p) y fracaso (q); los ensayos son independientes.
• Distribución Normal: De Moivre descubrió que cuando n tiende a infinito, la distribución binomial tiende a una distribución continua cuya gráfica tiene forma de campana, lo que se llama Distribución Normal, también llamada Distribución de Gauss. Es simétrica en torno a su media (μ), la media, mediana y moda son iguales. Es asintótica con respecto al eje de abscisas.
• Distribución Normal Estandarizada: Es una distribución normal teórica que utiliza un sistema numérico común, no depende de ningún parámetro, su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. Tiene un máximo en el eje γ, tiene dos puntos de inflexión en Z = 1 y Z = -1.
• Problema inverso: Se da el área o probabilidad y se pide el valor de Z o X.

Muestreo e Inferencia Estadística

• Población o universo: Conjunto infinito de elementos cuyas características se desean estudiar.
• Muestra: Subconjunto de la población.
• Muestreo: Es el procedimiento que permite obtener una muestra. Hay dos tipos:

Tipos de Muestreo

• Muestreo Probabilístico: Es cuando cada muestra tiene una probabilidad conocida de ser seleccionada.
• Muestreo No Probabilístico: La probabilidad de seleccionar la muestra no es conocida.

• Parámetro: Son ciertos valores numéricos fijos que se utilizan para describir la característica de una población (σ, σ², promedio, π).
• Estadísticas o Estimadores: Son medidas descriptivas de una muestra.
• Estimadores puntuales: Se utilizan para estimar el valor de los parámetros.
• Inferencia Estadística: Es un tipo de inferencia inductiva que permite generalizar las conclusiones obtenidas en una muestra a toda la población. Se divide en tres: Estimación puntual, estimación por intervalo, dominancia de hipótesis (pruebas de H).
• Diseño muestral: Es el plan que se llevará a cabo para seleccionar la muestra, de tal forma que exista un convencimiento bien fundado de que la muestra sea representativa. Generalmente se toman en cuenta dos criterios: Fiabilidad (ligada al error del muestreo) y Efectividad (ligada al costo del muestreo).
• Error de muestreo: Es la diferencia entre un estimador y su representativo parámetro.

Técnicas de Muestreo

• Muestreo Aleatorio Simple: Es un muestreo probabilístico en donde se deben enumerar los elementos de la población, determinar de alguna manera el tamaño de la muestra y seleccionar aleatoriamente n de los N elementos de la población.
• Muestreo Sistemático: Es un muestreo probabilístico, se utiliza cuando la población es de gran tamaño.
• Muestreo Estratificado: Puede resultar más efectivo que el muestreo simple y sistemático, pero exige tener conocimiento previo de la población. Consiste en dividir la población en subpoblaciones o grupos, llamados estratos.
• Estratos: Los elementos dentro del estrato son lo más homogéneos posible y dentro de cada estrato se puede practicar un muestreo aleatorio simple. La muestra de todos los estratos conforma u origina la muestra total.
• Muestreo por conglomerados: En este hay que dividir la población en grupos llamados estratos. Cada estrato debe ser heterogéneo dentro de él y lo más homogéneos posible entre ellos.

Intervalos de Confianza y Pruebas de Hipótesis

• Intervalo de confianza: Par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto.
• Proporción: Es una parte del individuo y se expresa con la p.
• Hipótesis Estadística: Es un enunciado acerca de un parámetro de la población que se desarrolla con el propósito de ponerlo a prueba.
• Prueba de hipótesis: Procedimiento que se basa en la evidencia de las muestras y en la teoría de probabilidades, para determinar si la hipótesis es un enunciado razonable.

Pasos para probar una Hipótesis

1. Establecer la hipótesis nula y la alterna.
2. Seleccionar un nivel de significancia.
3. Obtener las estadísticas muestrales necesarias para la prueba.
4. Identificar la estadística de prueba.
5. Tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula.
6. Dar las conclusiones respecto de la prueba.

• Hipótesis Nula: Es una afirmación respecto del valor de un parámetro de la población (H₀).
• Hipótesis Alterna: Es una afirmación que se acepta si los datos de la muestra proporcionan evidencia suficiente de que la H₀ es falsa (H₁).
• Nivel de significación: Es la probabilidad de rechazar la H₀ cuando es verdadera (α).
• Error tipo I: Es aquel que se comete cuando se rechaza la H₀ cuando es verdadera.
• Error tipo II: Se comete cuando se acepta la H₀ que es falsa.
• Estadística de prueba: Valor que se calcula con base en la información de la muestra, y que se utiliza para determinar si se rechaza o se acepta la H₀.
• Valor crítico: Punto de división entre la región en que se rechaza la H₀ y la región en que se aprueba la H₀.