Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Distribución Normal

Definición Clásica de Probabilidad según Laplace

Se suele denominar definición clásica, por ser una de las primeras definiciones que fueron propuestas. Debemos conocer su espacio muestral asociado E (número de resultados posibles supuestamente equiprobables) y, además, el número de resultados posibles de que consta cualquier suceso o subconjunto de E, por lo que, antes de realizar el experimento, podemos atribuir la correspondiente probabilidad a cualquier suceso. También se denomina definición de Laplace, por ser atribuida a él.

Definición

Dado un experimento aleatorio con un espacio muestral finito E, gozando de la particularidad de que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir al efectuar una prueba del experimento (los sucesos elementales son equiprobables), la probabilidad de cualquier suceso A (subconjunto de E), es igual al cociente entre el número de elementos de A (número de resultados favorables a A) y el número de elementos de E (número total de resultados posibles).

P(A) = Casos favorables al suceso A / Casos posibles del experimento

También:

Dado el suceso A, se define la probabilidad de A como:

P(A)=n_A/n, donde:

n_A = número de veces que aparece el suceso A en las n veces que se realiza el experimento.

Definición Axiomática de Probabilidad

Si representamos con Φ(E) el conjunto de todos los sucesos, definimos la función de probabilidad P, como una función numérica P: Φ(E) → [0,1], de forma que para cualquier suceso A se tiene que P(A) es un número comprendido entre cero y uno, ambos incluidos y que verifica los siguientes axiomas:

1. La probabilidad del suceso seguro es igual a 1, P(E)=1.
2. La probabilidad de cualquier suceso es un número no negativo, P(A)≥0.
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos A y B incompatibles es la suma de las probabilidades. Si A∩B =∅, se tiene que P(A∪B) = P(A) + P(B).

Como consecuencia de los axiomas se verifica que:

• P(A̅)=1 - P(A)
• P(∅) = 0
• Si A y B son sucesos cualesquiera, se verifica: P (A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Función de Densidad de la Distribución Normal

La Distribución Normal consta de dos parámetros μ y σ², que corresponden a la media y a la varianza de la distribución. Conocidos estos parámetros, la distribución está unívocamente determinada.

Definición

Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ² y lo representaremos como X ~ N (μ, σ²), si su función de densidad viene dada por la expresión:

f(x)= (1 / (σ√(2π))) * e^{(-(x-μ)2 / (2σ2))} con x en el intervalo (-∞,∞).

La función anterior tiene las siguientes propiedades:

1. Su dominio de definición es (-∞,∞).
2. Su asíntota horizontal es el eje OX, es decir, la recta y=0.
3. Es simétrica respecto de la recta x= μ.
4. Es creciente en el intervalo (-∞, μ) y decreciente en (μ,∞).
5. Presenta un máximo en x= μ.
6. Tiene dos puntos de inflexión en x= μ- σ y x= μ+ σ.
7. Es cóncava en el intervalo (-∞, μ- σ) y de (μ+ σ,∞) y convexa de (μ- σ, μ+ σ).
8. Las probabilidades correspondientes a los intervalos (μ – σ, μ + σ), (μ – 2σ, μ + 2σ) y (μ – 3σ, μ + 3σ) son respectivamente: 0,683, 0,954 y 0,997.

Cálculo de Probabilidades y Distribución Normal Tipificada

Para poder calcular cualquier probabilidad, habría que utilizar en la igualdad (1) la función f(x) que depende de los dos parámetros μ y σ² y calcular la integral de (1), utilizando métodos numéricos, según los valores particulares en cada caso de ambos parámetros. Para evitar esto, consideramos una única distribución de esta familia de variables normales que tenga sus parámetros fijos. Los valores más sencillos son μ = 0 y σ² =1. Para ello, definimos la distribución normal tipificada o estandarizada como la variable aleatoria Z:

Z = (X - μ) / σ

y cuya distribución es normal de parámetros media cero y varianza 1, es decir, Z~ N(0,1).

Propiedades de la Distribución Normal Tipificada

Se verifican las propiedades anteriores sustituyendo μ por cero y σ por 1, quedando:

1. Su dominio de definición es (-∞,∞).
2. Su asíntota horizontal es el eje OX, es decir, la recta y=0.
3. Es simétrica respecto de la recta x= 0.
4. Es creciente en el intervalo (-∞, 0) y decreciente en (0,∞).
5. Presenta un máximo en x= 0.
6. Tiene dos puntos de inflexión en x= -1 y x= 1.
7. Es cóncava en el intervalo (-∞, -1) y de (1,∞) y convexa de (-1, 1).
8. Las probabilidades correspondientes a los intervalos (–1, 1), (–2, 2) y (–3, 3) son respectivamente: 0,683, 0,954 y 0,997.