Conceptos Fundamentales de Movimientos Oscilatorios y Armónico Simple

Diferencias entre Movimiento Periódico, Vibratorio y Armónico Simple

• Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables posición (r), velocidad (v) y aceleración (a) de su movimiento toman los mismos valores después de cada intervalo de tiempo constante denominado periodo (T).
• Una partícula describe un movimiento vibratorio u oscilatorio cuando se desplaza sucesivamente a un lado y a otro de su posición de equilibrio, repitiendo a intervalos regulares de tiempo sus variables cinemáticas.
• El movimiento oscilatorio de un cuerpo sobre una trayectoria recta es armónico simple (MAS) cuando está sometido a una fuerza recuperadora (o de atracción) proporcional al vector posición, con origen en su punto de equilibrio o centro de oscilación, y de sentido contrario.

Interpretación de Periodo (T), Frecuencia (F) y Frecuencia Angular (ω)

Periodo (T)

Tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa.

Frecuencia (F)

Número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo (F = 1/T).

Frecuencia Angular (ω)

Número de periodos comprendidos en 2π unidades de tiempo. Se relaciona con el periodo y la frecuencia mediante ω = 2π/T = 2πF.

El Oscilador Armónico Simple

Es un sistema animado de movimiento armónico simple (MAS) debido a la acción de una fuerza recuperadora.

Como la masa (m) y la frecuencia angular (ω) no varían en un sistema ideal, la fuerza recuperadora se expresa como F = -kx. Esta expresión indica que en el MAS, la fuerza es proporcional al desplazamiento (x) desde la posición de equilibrio y opuesta a él. La constante k se denomina constante elástica o recuperadora.

Esta constante k es siempre positiva. Cuanto mayor sea, mayor será la fuerza que atrae al móvil hacia la posición de equilibrio.

La fuerza que produce un MAS es central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este. La relación entre la constante elástica, la masa y la frecuencia angular es: k = mω², de donde se deduce que ω = √(k/m).

El periodo de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su constante recuperadora (k) y de su masa (m), pero no de la amplitud del movimiento (T = 2π/ω = 2π√(m/k)).

Energía Cinética, Potencial y Mecánica en el MAS

La energía cinética (Ec) de una masa (m) con un MAS es: Ec = ½mv². Si la posición es x = A cos(ωt + φ), la velocidad es v = -Aω sen(ωt + φ), por lo tanto:

Ec = ½m(-Aω sen(ωt + φ))² = ½mA²ω² sen²(ωt + φ) = ½kA² sen²(ωt + φ)

De esta expresión deducimos que la energía cinética del oscilador es una función periódica del tiempo y es proporcional al cuadrado de la amplitud (A) y a la constante recuperadora (k).

La energía potencial elástica (Ep) asociada a la fuerza recuperadora es: Ep = ½kx². Sustituyendo x:

Ep = ½k(A cos(ωt + φ))² = ½kA² cos²(ωt + φ)

De esta expresión deducimos que la energía potencial también varía periódicamente y depende del cuadrado de la amplitud y la constante recuperadora.

La energía mecánica total (E) de la masa en cualquier instante se obtiene sumando la energía cinética y la potencial: E = Ec + Ep.

E = ½kA² sen²(ωt + φ) + ½kA² cos²(ωt + φ) = ½kA²(sen²(ωt + φ) + cos²(ωt + φ))

Dado que sen²θ + cos²θ = 1, la energía mecánica total es:

E = ½kA²

La energía mecánica del oscilador armónico es una constante (se conserva en ausencia de rozamiento), característica de este, y es proporcional al cuadrado de la amplitud de la oscilación.

El Péndulo Simple

Si suspendemos una partícula de masa (m) de un hilo de longitud (l), inextensible y de masa despreciable, y la separamos un ángulo (θ) pequeño de su posición vertical de reposo, la partícula se comporta aproximadamente como un oscilador armónico simple.

La trayectoria del péndulo es un arco, pero puede suponerse recta para valores muy pequeños del ángulo θ (aproximación de pequeñas oscilaciones).

Durante las oscilaciones, las energías cinética (Ec) y potencial (Ep) varían:

• En los puntos de máxima separación angular (amplitud), el péndulo solo posee energía potencial gravitatoria (Ep máxima) relativa a la posición de equilibrio, y su velocidad es nula (Ec nula).
• Al dejarlo en libertad, desciende hacia la posición de equilibrio: disminuye su Ep y aumenta su Ec, debido a que la energía mecánica total se conserva (si se desprecia el rozamiento).
• En la posición de equilibrio (punto más bajo), su velocidad es máxima (Ec máxima) y su Ep es mínima (usualmente se toma como cero).
• Continúa su movimiento ascendente hacia el otro extremo, disminuyendo su Ec y aumentando su Ep, hasta alcanzar la máxima separación opuesta, donde de nuevo su Ec es nula y su Ep es máxima.

El movimiento del péndulo simple es un movimiento armónico simple (aproximadamente) siempre que se consideren desplazamientos angulares muy pequeños (θ << 1 radián).