Conceptos Fundamentales de Matrices: Definiciones, Tipos y Operaciones

Matrices

Definición de Matriz

Se llama matriz a todo arreglo ordenado de números o funciones dispuestos en m filas y n columnas.

Igualdad de Matrices

Dos matrices A y B son iguales (A = B) si y solo si A es de orden m x n, B es de orden m x n y sus elementos correspondientes son iguales (a_ij = b_ij para todo i, j).

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es el orden del determinante de mayor orden no nulo que se puede obtener seleccionando submatrices cuadradas dentro de la matriz original.

Tipos de Matrices

Matriz Cuadrada

Una matriz es cuadrada cuando el número de filas coincide con el número de columnas, es decir, m = n.

Matriz Fila

Una matriz de orden 1 x n solo tiene una fila y se la conoce con el nombre de matriz fila o vector fila. En forma general: A = [ a₁₁ a₁₂ a₁₃ ... a_1n ]

Matriz Columna

Una matriz de orden m x 1 solo tiene una columna y se la conoce con el nombre de matriz columna o vector columna.

Matriz Diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos fuera de la diagonal principal iguales a cero (a_ij = 0 si i ≠ j).

Matriz Escalar

Una matriz escalar es un caso particular de la matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a un escalar (número real k): a_ii = k y a_ij = 0 si i ≠ j.

Matriz Identidad

La matriz identidad (designada con la letra I o I_n) es un caso particular de matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Es el elemento neutro de la multiplicación de matrices.

Matriz Triangular

Una matriz triangular es una matriz cuadrada cuyos elementos por encima (triangular inferior) o por debajo (triangular superior) de la diagonal principal son todos iguales a cero.

• Triangular Superior: a_ij = 0 si i > j.
• Triangular Inferior: a_ij = 0 si i

Matriz Transpuesta

Se llama transpuesta de una matriz A de orden m x n (denotada como A^T) a la matriz de orden n x m que se obtiene de intercambiar ordenadamente las filas por columnas de A. El elemento (A^T)_ij es igual a a_ji.

Matriz Simétrica

Una matriz cuadrada A es simétrica si es igual a su transpuesta (A = A^T), lo que significa que los elementos simétricos ubicados con respecto a la diagonal principal son iguales (a_ij = a_ji).

Matriz Antisimétrica

Una matriz cuadrada A es antisimétrica (o hemisimétrica) si es igual al opuesto de su transpuesta (A = -A^T), lo que significa que los elementos simétricamente ubicados respecto a la diagonal principal son de distinto signo y de igual valor absoluto (a_ij = -a_ji). Esto implica que los elementos de la diagonal principal deben ser cero (a_ii = 0).

Operaciones con Matrices

Suma de Matrices

Dadas dos matrices A y B del mismo orden m x n, la suma A + B es una matriz del mismo orden m x n que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de A y B: (A + B)_ij = a_ij + b_ij.

Propiedades de la Suma:

• Ley de Composición Interna (LCI): La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz de orden m x n.
• Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C).
• Conmutativa: A + B = B + A.
• Elemento Neutro: Existe una matriz nula (0) del mismo orden tal que A + 0 = 0 + A = A.
• Elemento Opuesto: Para cada matriz A, existe una matriz opuesta (-A) tal que A + (-A) = 0.
• Cancelativa: Si A + C = B + C, entonces A = B.

Multiplicación de un Escalar por una Matriz

Sea A una matriz de orden m x n y sea k cualquier número real (llamado escalar), entonces el producto del escalar por la matriz (k * A o kA) es otra matriz del mismo orden que se obtiene multiplicando por k cada uno de los elementos de la matriz A: (k * A)_ij = k * a_ij.

Multiplicación de Matriz Fila por Matriz Columna

Sea C una matriz fila de orden 1 x n y D una matriz columna de orden n x 1. El producto C * D es un escalar (o una matriz 1x1) que se obtiene calculando la suma de los productos de los elementos correspondientes en C y D. La matriz fila siempre se debe escribir a la izquierda y la matriz columna a la derecha.

C * D = [ c₁₁ c₁₂ ... c_1n ] * [ d₁₁; d₂₁; ...; d_n1 ] = c₁₁d₁₁ + c₁₂d₂₁ + ... + c_1nd_n1

Multiplicación de Matrices

Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p. El producto A * B es otra matriz C de orden m x p. Para que la multiplicación sea posible, el número de columnas de la primera matriz (A) debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (B).

El elemento c_ij (ubicado en la fila i, columna j de la matriz producto C) se obtiene multiplicando la i-ésima fila de A por la j-ésima columna de B (como el producto de matriz fila por matriz columna descrito anteriormente).

c_ij = Σ_k=1ⁿ a_ik * b_kj

Propiedades de la Multiplicación:

• Asociativa: (A * B) * C = A * (B * C).
• Distributiva respecto de la suma: A * (B + C) = A * B + A * C y (A + B) * C = A * C + B * C.
• Elemento Neutro (para matrices cuadradas): Existe la matriz identidad I tal que A * I = I * A = A.
• No es conmutativa (en general): A * B ≠ B * A.

Inversa de una Matriz

Dada una matriz cuadrada A de orden n, se dice que es inversible (o no singular) si existe una matriz B del mismo orden (llamada matriz inversa de A y denotada como A^-1) tal que su producto es igual a la matriz identidad:

A * A^-1 = A^-1 * A = I

Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero (det(A) ≠ 0).