Conceptos Fundamentales de Geometría Plana

Figuras Equivalentes e Iguales

Equivalencia: Dos figuras son equivalentes cuando, con distinta forma, tienen la misma superficie (área). Esta igualdad es independiente de la unidad de superficie escogida, por lo que se dice que la equivalencia es una relación intrínseca.

Igualdad: Dos figuras son iguales cuando todos sus lados y sus ángulos son iguales y están dispuestos del mismo modo.

Simetría

Central (con un centro de simetría): Dos puntos A y A' son simétricos respecto a un centro dado, cuando se encuentran sobre una recta que pasa por dicho centro y están a la misma distancia de él.

Dos polígonos son simétricos cuando los vértices de uno de ellos son simétricos de los vértices del otro. Los lados simétricos correspondientes son paralelos.

Axial (con un eje): Dos polígonos son simétricos cuando los vértices de uno de ellos son simétricos de los del otro. Los lados simétricos correspondientes o sus prolongaciones se cortan en puntos del eje de simetría.

Semejanza y Proporcionalidad

Semejanza y proporcionalidad o homotecia: Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales. Los lados de un polígono y su semejante son paralelos entre sí.

Esta proporcionalidad viene dada por una constante K llamada razón de homotecia, que puede ser positiva o negativa. Si la razón es positiva, los dos polígonos estarán del mismo lado del centro de homotecia (homotecia directa); si es negativa, los polígonos estarán a distintos lados.

Lugar Geométrico y Teoremas

Lugar geométrico: Se llama lugar geométrico a una serie de puntos que cumplen una determinada condición.

Teorema de Thales: Si dos rectas coplanarias (es decir, concurrentes, que se cortan) son cortadas por un haz de rectas paralelas entre sí, los segmentos determinados sobre una de las rectas son proporcionales a los determinados sobre la otra.

Teorema de las rectas antiparalelas: Dos rectas coplanarias son cortadas por otras dos rectas de tal forma que los ángulos en A y B sean iguales, se dice que las rectas AB y A'B' son antiparalelas.

Potencia de un Punto, Eje y Centro Radical

Potencia de un punto: Potencia de un punto respecto a una circunferencia es el valor constante del producto de los segmentos determinados al trazar una secante a ella que pase por un punto dado. Dicho punto puede ser exterior (potencia positiva) o interior (potencia negativa) a la circunferencia.

El valor de la potencia también es igual al cuadrado del segmento determinado al trazar la tangente a la circunferencia por el punto dado.

Eje radical: Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias. El eje radical es una recta perpendicular a la recta que une los centros.

Centro radical: Se llama centro radical de tres circunferencias al punto de intersección de los ejes radicales correspondientes a cada pareja de circunferencias. Este punto tiene la misma potencia respecto a las tres circunferencias.

Espirales y Curvas Cónicas

Espirales: Son las curvas engendradas por un punto llamado "generador" que se desplaza a lo largo de una recta llamada "base" cuando esta gira simultáneamente alrededor de uno de sus puntos llamado "polo".

Curvas Cónicas: Son las curvas resultantes de seccionar una superficie cónica de revolución por un plano. Dependiendo del plano del corte hay cuatro tipos de curvas cónicas:

• Circunferencia: Cuando el plano de corte corta a todas las generatrices, no pasa por el vértice y es perpendicular al eje del cono, la sección resultante es una circunferencia.
• Elipse: Cuando el plano de corte es oblicuo al eje de corte, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
  Definición de elipse: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos llamados focos es igual y constante a la longitud del eje mayor AB.
• Hipérbola: Cuando el plano de corte es paralelo al eje del cono, la sección resultante es una hipérbola.
  Definición de hipérbola: Lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos llamados focos es igual y constante a la longitud del eje mayor.
• Parábola: Cuando el plano de corte es paralelo a una de las generatrices del cono, la sección resultante es una parábola.
  Definición de parábola: Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Tiene un eje que es una recta perpendicular a la directriz.