Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva y Transformaciones Geométricas

Introducción a la Estadística Descriptiva

La estadística descriptiva trata de la recolección, organización y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones y encuestas, con el fin de hacer comparaciones, describir las características y sacar conclusiones de estos.

Definiciones Clave

• Población: es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.
• Individuo: es uno de los elementos que componen la población.
• Muestra: es un conjunto representativo de la población (el número de individuos de la muestra debe ser menor que el número de individuos de la población).
• Muestreo: es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenida de una muestra.
• Variable: a cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Tipos de Variables

• Cualitativa: se refiere a las características o cualidades que no pueden ser medidas con números.
  • Nominal: son las que no admiten un criterio de orden.
  • Ordinal: son las que admiten un criterio de orden.
• Cuantitativa: son las que se expresan mediante un número y, por lo tanto, podemos realizar operaciones aritméticas sobre ellas.
  • Discreta: no admiten valor intermedio entre ellos.
  • Continua: admiten valor intermedio entre ellos.

Distribución de Frecuencia

La distribución de frecuencia es una ordenación en forma de tabla de los datos obtenidos estadísticamente.

Tipos de Frecuencia

• Frecuencia Absoluta: es el número de veces que aparece un valor estadístico (fi). (La suma de la fi = número total (N)).
• Frecuencia Relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total del dato, y se presenta como ni = fi/N.
• Frecuencia Acumulada: es la suma de la frecuencia absoluta de todos los valores inferiores y se representa con Fi.

Distribución de Frecuencia Agrupadas

Se emplea si las variables toman un número grande de valores.

• Límite de la Clase: delimitada por un límite inferior y superior.
• Amplitud: es la diferencia entre el límite superior e inferior.
• Marca: es el punto de cada intervalo y es el valor que representa a todo intervalo para el cálculo de parámetros.

Diagrama de Sectores

Los parámetros estadísticos son números que se obtienen a partir de los datos de una distribución estadística. Estos sirven para sintetizar la información dada por una gráfica o una tabla.

Tipos de Parámetros Estadísticos

• Centralización: indican en torno a qué valor se distribuyen los datos. Las medidas de centralización son las siguientes:
  • Media Aritmética: valor promedio de la distribución.
  • Mediana: valor de la escala que separa la parte superior de la inferior.
  • Moda: es el valor que más se repite.
• Posición: divide un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
  • Cuartiles: dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.
  • Deciles: dividen la serie de datos en diez partes iguales.
  • Percentiles: dividen la serie de datos en cien partes iguales.
• Dispersión: nos indica cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.
  • Rango: la diferencia entre el mayor y el menor.
  • Desviación Media: es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
  • Varianza: es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.
  • Desviación Típica: es la raíz cuadrada de la varianza.

Coeficiente de Variación

Es la relación entre la desviación típica y la media.

Transformaciones Geométricas

Es una aplicación del plano que permite obtener una nueva figura a partir de una figura dada. A la figura original se le hace corresponder otro punto del mismo plano de la figura transformada. Las figuras que se obtienen luego de una transformación se denominan figuras homólogas.

Clasificación de Transformaciones

• Isométrica: conservan las medidas de los segmentos y de los ángulos de la figura original y su transformada.
• Simetría: es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes de una figura con relación a un punto, una recta o un plano. (A las figuras transformadas por simetría se les llama figuras simétricas.)
  • Simetría Central: transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto que debe cumplir estas condiciones:
    • A: el punto y su imagen deben estar a igual distancia de un punto llamado centro.
    • B: el punto, imagen y centro deben pertenecer a una misma recta.
  • Simetría Axial: transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:
    • A: la distancia de un punto y su imagen al eje de simetría es la misma.
    • B: el segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.
• Translación: es una isometría que realiza un cambio de posición determinada por un vector. Se llama translación de vector a la isometría que a cada punto A del plano le hace corresponder un punto A' del mismo plano, tal que AA' es igual al vector.
• Rotación: movimiento de cambio de orientación de una figura de forma que, dado un punto cualquiera de la misma figura, este permanece a una distancia constante de un punto fijo y tiene las siguientes características:
  • A: un punto denominado centro de rotación.
  • B: ángulo.
  • C: sentido de rotación (reloj -).
• Isomórfica: conservan las formas pero no conservan las medidas. La relación de proporcionalidad entre una figura y su homóloga se llama homotecia.
• Anamórfica: transformaciones que no conservan la forma.

Homotecia

Es una transformación que a un punto del plano A le hace corresponder otro A', alineando con F y A, verificándose la relación k = OA'/OA. Dos figuras planas son homotéticas si sus puntos se corresponden en un homotecio.

• (+): homotecia directa.
• (-): homotecia inversa.