Conceptos fundamentales de cálculo: intervalos, diferenciales, extremos y funciones crecientes y decrecientes

Intervalos

Dados los números reales a y b, siendo a < b, llamaremos intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Estos se denominan extremos del intervalo: a es el extremo izquierdo o inferior y b el extremo derecho o superior.

• Intervalo cerrado: es aquel que contiene a sus extremos. Ejemplo: [a, b].
• Intervalo abierto: es aquel que no contiene a sus extremos.

Diferencial e incremento de una función

El concepto de diferencial surge del concepto de derivada. Supongamos que una función y = f(x) tiene una derivada en un intervalo [a, b]. En un punto cualquiera del mismo, su derivada se calcula mediante la expresión:

Lim_x→0 ∆y/∆x = f'(x) (sabiendo que f'(x) en un punto es un número real).

Es decir, entonces cuando el incremento ∆x→0, el cociente de ∆y/∆x tiende al valor f'(x). Entonces, del concepto de infinitésimo podemos decir que:

∆y/∆x - f'(x) = Q(∆x), y Q es un infinitésimo en ∆x.

Ahora bien, podemos decir: "∆y/∆x= f'(x) + Q(∆x)" (1).

Es decir, "si a una constante "L" se le suma un infinitésimo en el punto "a" se obtiene una función cuyo límite para x→a es L". O sea: f(x) = L + Q(x). En este caso sería f'(x) = L; ∆y/∆x = f(x) y Q(∆x) = Q(x).

Si multiplicamos miembro a miembro la igualdad (1), tenemos:

∆y = f'(x)∆x + Q(∆x)∆x

Es decir, el incremento de ∆y está compuesto por dos términos, el primero es f'(x)∆x, se denomina diferencial de la función, y el segundo es Q(∆x)∆x, es un infinitésimo cuando ∆x→0, por lo tanto podemos asegurar que el incremento y el diferencial varían en un infinitésimo. Por lo tanto, el diferencial tiene como expresión:

dy = f'(x)∆x

Extremos absolutos y relativos. Funciones crecientes y decrecientes

Función creciente en un intervalo

Sea una función "f" continua y derivable en un intervalo (a, b). Observamos que cuando los valores de la variable independiente "x" aumentan, también aumentan los correspondientes valores de la función. Cuando se cumple esta característica, se dice que "f" es creciente.

Función decreciente en un intervalo

Sea "f" continua y derivable en un intervalo (a, b). Observamos que a medida que los valores de la variable independiente "x" aumentan, los correspondientes valores de la función disminuyen. Cuando esto ocurre, decimos que la función "f" es decreciente en dicho intervalo.

Valores extremos

Se llaman valores extremos de una función los máximos y mínimos, locales o absolutos, de la misma.

• Máximo absoluto: una función escalar "f" definida en un conjunto "D" tiene un máximo absoluto en dicho conjunto si existe por lo menos un punto "c" en D tal que el valor de la función en ese punto no es superado por ningún otro punto en D.
• Mínimo absoluto: caso contrario, es el mínimo de la función "f" en el conjunto D si y solo si no supera a ninguno de los valores de la función en el conjunto D.

Para determinar extremos locales de una función, está ligada a la derivación y a la interpretación de la recta tangente en dichos puntos. Existe una condición necesaria para que exista un extremo, y es que para que una función tenga un máximo o mínimo en un punto x, la derivada en dicho valor sea igual a 0. Si eso pasa, la derivada puede ser menor que 0 (<0), mayor que 0 (>0) o igual a 0 (=0).

Máximo relativo o local: se dice que la función "f" definida en un conjunto D tiene un máximo relativo en el punto x₀ si y solo si existe un entorno de x₀ tal que el valor f(x₀) "no sea superado" por ninguno de los valores de f en dicho entorno.