Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra: Teoría y Ejemplos

Proposiciones y Leyes Lógicas

Una proposición es un enunciado que expresa una verdad o falsedad. Las leyes lógicas o tautologías son proposiciones que toman un valor de verdad (V) o falsedad (F) independientemente de los valores de las proposiciones componentes.

Leyes de Morgan

Las Leyes de Morgan establecen las siguientes equivalencias:

1. La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones: ~(p v q) <-> ~p ^ ~q
2. La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones: ~(p ^ q) <-> ~p v ~q

Cotas, Supremo e Ínfimo

Sea X un conjunto de números reales.

• Cota inferior: X está acotado inferiormente cuando existe un número c tal que c <= x para todo x ∈ X.
• Cota superior: X está acotado superiormente cuando existe un número C tal que x <= C para todo x ∈ X.

Supremo/Ínfimo: Un número S es la cota superior (supremo) de X si es una cota superior y ningún número menor que S es cota superior. De forma análoga, un número s es la cota inferior (ínfimo) de X si es una cota inferior y ningún número mayor que s es cota inferior.

Sucesiones

Una sucesión es una relación que asocia a cada número natural (n) un número real. Una sucesión se puede determinar mediante:

• Ley verbal.
• Término general.
• Ley de recurrencia.

Una sucesión está acotada superiormente si existe un número M tal que A_n <= M para todo número n. Está acotada inferiormente si existe un número m tal que A_n >= m para todo n.

Teorema: Si A_n es una sucesión monótona, entonces converge si y solo si está acotada.

Relaciones Binarias y Funciones

Una relación binaria es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B.

Una función es una relación binaria tal que no pueden pertenecer a ella dos pares distintos con el mismo primer elemento (o coordenada). Dados dos conjuntos A y B, a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

Formas de Representación de Funciones

1. Conjunto de pares ordenados.
2. Diagrama de Venn.
3. Gráfico cartesiano.
4. Gráfico tubular.
5. Forma analítica.
6. Forma tecnológica.

Dominio y Recorrido

• Dominio: D(f) = { x ∈ A / ∃ y ∈ B : y = f(x) }
• Recorrido: R(f) = { y ∈ B / ∃ x ∈ A : y = f(x) }

Tipos de Funciones

• Función inyectiva: A elementos distintos del dominio le corresponden elementos distintos en el rango (la gráfica toca un solo punto en cada valor de x).
• Función suryectiva: Cada elemento del conjunto B es imagen de al menos un elemento del conjunto A (todas las y tienen un correspondiente x).
• Función inversa: Sea f: A -> B una función. Su inversa es f^-1: B -> A, donde f^-1 = { (y, x) ∈ B x A / (x, y) ∈ f }. Para que exista la función inversa, f debe ser inyectiva.
• Función creciente: Para todo x₁, x₂ ∈ D, si x₁ < x₂, entonces f(x₁) <= f(x₂).
• Función decreciente: Para todo x₁, x₂ ∈ D, si x₁ < x₂, entonces f(x₁) >= f(x₂).

Funciones Trigonométricas

Seno

D = ℝ, I = [-1, 1], impar, no inyectiva ni suryectiva. Creciente en (-π/2, π/2), decreciente en (π/2, 3π/2).

Coseno

D = ℝ, I = [-1, 1], par, no inyectiva ni suryectiva. Decreciente en (0, π), creciente en (π, 2π).

Tangente

D = { x ∈ ℝ / x ≠ (2k+1)π/2 }, I = ℝ, impar, no inyectiva, sí suryectiva.

Cotangente

D = { x ∈ ℝ / x ≠ kπ, k ∈ ℤ }, I = ℝ, periodo π, impar, suryectiva, no inyectiva.

Secante

D = { x ∈ ℝ / x ≠ (2k+1)π/2 }, periodo 2π, par, no inyectiva ni suryectiva. Creciente en (0, π/2) U (π/2, π), decreciente en (π, 3π/2) U (3π/2, 2π).

Cosecante

D = { x ∈ ℝ / x ≠ kπ, k ∈ ℤ }, I = { y ∈ ℝ / |y| >= 1 }, periodo 2π, impar, no inyectiva ni suryectiva.

Límites y Asíntotas

• Asíntota horizontal: Tendencia infinita de x y finita de y. lim_x→±∞ F(x) = K.
• Asíntota oblicua: Recta a la que se aproxima la función cuando x tiende a ±∞. Se presenta en funciones racionales P(x)/Q(x) donde el grado de P(x) es exactamente uno más que el grado de Q(x).
• Asíntota vertical: x tiende a un valor determinado, e y tiende a ±∞. Se presenta en funciones racionales P(x)/Q(x) cuando Q(x) = 0.

Teoremas

Teorema de Bolzano

Sea f(x) continua en [a, b] y sea f(a) ≠ f(b). Entonces, f(x) toma todos los valores entre f(a) y f(b).

Teorema de Weierstrass (o de los Valores Extremos)

Sea f(x) continua en [a, b]. Entonces:

1. Existe x₁ ∈ [a, b] tal que para todo x ∈ [a, b], f(x₁) >= f(x) (f alcanza un máximo absoluto en x₁).
2. Existe x₂ ∈ [a, b] tal que para todo x ∈ [a, b], f(x₂) <= f(x) (f alcanza un mínimo absoluto en x₂).

Teorema del Valor Intermedio

Si f(x) es continua en [a,b] y k es un valor comprendido f(a) y f(b), entonces existe al menos un c en (a,b) tal que f(c) = k

Derivadas

La derivada de una función f(x) en un punto x = a, denotada por f'(a), es la tasa de variación instantánea de f(x) en x = a. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva de f(x) en el punto (a, f(a)).

f'(a) = lim_h→0 (f(a + h) - f(a)) / h

Recta Tangente

Dada una función y = f(x) y un punto (x₀, f(x₀)), la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto es:

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)

Recta Normal

La recta normal es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia. Su ecuación es:

y - y₀ = (-1 / f'(x₀))(x - x₀)