Conceptos Fundamentales de Cálculo: Valor Absoluto, Entornos, Cotas y Funciones

Valor Absoluto

Se llama valor absoluto a la aplicación de R en R denotada y definida por:

x → |x|

• Si X ≥ 0 → |x| = x
• Si x < 0 → |x| = -x

El dominio del valor absoluto son todos los números R. El condominio son todos los números R estrictamente positivos. La regla de correspondencia del valor absoluto está dada por x → |x|:

• Si X ≥ 0 → |x| = x
• Si x < 0 → |x| = -x

Propiedades del Valor Absoluto

• |x.y| = |x|.|y|
• |x + y| ≤ |x| + |y|
• -x ≤ |x| ≤ x
• |x| ≥ 0

Ejemplo:

|x + y| ≤ |x| + |y| → |-8 + 4| ≤ |-8| + |4|

|-4| ≤ |8| + |4|

4 ≤ 8 + 4

4 ≤ 12

Entorno

Se llama entorno, abierto o cerrado, al intervalo que va desde ]X₀ – r, r + X₀[ donde r es el radio del intervalo, un número estrictamente positivo y mayor a cero, ya que su longitud es el doble de su radio.

Ejemplo de Entorno

Si ax² + bx ≤ 0 representa un entorno:

x(ax + b) ≤ 0

1. ax + b ≤ 0 = x ≥ -b/a

x ≥ 0 x ≥ 0

2. ax + b ≥ 0 = x ≤ -b/a

x ≥ 0 x > 0

S = [0, ∞[ ∪ [0, ∞[

Cotas

Se dice que un conjunto está acotado si y solo si está acotado superior e inferiormente.

• Se dice que A está acotado superiormente si ∃ K ∈ R / K ≥ x ∀ x ∈ A.
• Se dice que A está acotado inferiormente si ∃ K ∈ R / K ≤ X ∀ x ∈ A.

Extremos

• Se llama “extremo superior” de A al valor M que es la menor cota superior de A.
• Se llama “extremo inferior” de A al valor m que es la mayor cota inferior de A.

Ejemplo:

|2x - a| < a a > 0

-x < |x| < x → |2x – a| < a

-a < |2x – a| < a

a - a < 2x - a + a < a + a

½ . 0 < ½ . 2x < 2a . ½

0 < x < a

Es un conjunto no acotado ni superior ni inferiormente.

Representación de un Entorno

Si partimos de la definición de entorno, donde nos dice que se llama entorno (de centro a y radio r) a todo intervalo que va desde ]x₀ – r, x₀ + r[. Entonces si a es un punto cualquiera de la recta y r es el radio (un número positivo)]a - r, a + r[.

Vectores y Rectas

Hallar el vector paralelo a cada recta y probar si las rectas son perpendiculares

ax + by + c = 0

n = (Φ, β) → a = b

n = (-b, a) -β = - Φ → - Φ = -b

m // n = 2(-b, a) = (-2b, 2a) vector paralelo a la recta dada.

r₂ = ay = bx + c t = (Φ; β) = (-a, -b)

-bx + ay – c = 0 -Φ = a → - Φ = - Φ = -a

β = -b

r // t = (-1)(-a; -b) = (a, b) Vector paralelo de la recta dada.

Condición para que r₁ y r₂ sean perpendiculares

a₁/b₁ = a₂/b₂ = k → -b/a ≠ -a/-b

r₁ y r₂ no son perpendiculares.

Función Inversa

Si y = f(x) resulta x = y(y), se dice que f y y son funciones inversas y se denota a f^-1(x).

Restricción del Dominio de una Función

Es convertir una función no inyectiva a una función inyectiva al cambiar o modificar el dominio que le corresponde a la función. Su objetivo es salvar la discontinuidad de una función modificando la regla de definición en el punto de discontinuidad.

Ejemplo:

f(x) = 2x si x ≠ 3 4 si x = 3

f no es continua en x = 3 porque:

• f(3) = 4
• lim_x→3 f(x) = 2 . (3) = 6
• f(3) ≠ lim_x→3 f(x)
• f(1) = 6

Posee una discontinuidad evitable. Para salvar esta discontinuidad, se modifica el dominio de la función:

f(x) = 2x si x ≠ 3 6 si x = 3

Continuidad de una Función

Una función real de variable real es continua en un punto a de su dominio si y solo si:

• ∃ f(a)
• ∃ lim_x→a f(x)
• f(a) = lim_x→a f(x)

Si existe una asíntota vertical, la función es continua en todo x excepto para los x que anulan el denominador de la función.

Derivada de 1/g

La forma de la derivada de 1/g en un punto x₀ de su dominio siendo g: 0 ⊂ R → R : f(x) = u/v = (u.v - u.v')/v² → (0.g - 1.g')/g² → -g'/g²

Recta Tangente a una Curva

Se define como tangente a una gráfica de una función en un punto del mismo a la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es la derivada de la función en el punto correspondiente.

(x, y) = (x₀, f(x₀)) + λ(1, f'(x₀)) con λ ∈ R

Definición de Derivada

Dado f: D ⊂ R → R y x₀ + h elementos del dominio, si tiene límite cuando h tiende a 0, se dice que f es derivable en x₀ y se denota f'(x₀).

f'(x₀) = lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀))/h

Función Real de Variable Real

Se llama función real de variable real a cualquier relación f donde D ⊂ R y C ⊂ R. Decimos que f es una función si y solo si a cada elemento del dominio le corresponde una única imagen del condominio. Cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del condominio. El seno es la función periódica de periodo 2π al igual que el coseno, el conjunto de imagen es ]-1, 1[ y su periodo es p = 2π/b.

Asíntota a la Gráfica de una Función

Se dice que la recta y = kx + b es la asíntota a la gráfica de la función si y solo si lim_x→∞ (f(x) – y) = 0.

Puntos Máximos o Mínimos

Son los puntos en los cuales la recta tangente a la gráfica de la función se anula.

• Condición necesaria: para la existencia de máximo o mínimo local o relativo de una función, es que la primera derivada de dicha función se anule.
• Condición suficiente: si f'(x) = 0 y f''(x) ≠ 0, se tiene que si:
  • f''(a) < 0 → Máximo local o relativo en x = a
  • f''(a) > 0 → Mínimo local o relativo en x = a

Regla de L'Hôpital

Sean f y g dos funciones derivables en un entorno reducido en un punto a, g'(x) ≠ 0 en todo punto x de dicho entorno. Si lim_x→a f(x) = 0, lim_x→a g(x) = 0 y lim_x→a f'(x)/g'(x) = l, entonces existe lim_x→a f(x)/g(x) = l.

Sea f y g derivables en todos los puntos x ≠ a y g'(x) ≠ 0 si lim_x→a f(x) = ∞, lim_x→a f'(x)/g'(x) = l.

Conjunto Acotado

Se dice que un conjunto está acotado si y solo si está acotado superior e inferiormente.

• Se dice que A está acotado superiormente si ∃ K ∈ R / K ≥ x ∀ x ∈ A.
• Se dice que A está acotado inferiormente si ∃ K ∈ R / K ≤ x ∀ x ∈ A.

Función Real de Variable Par

Sea la función f definida ∀ x ∈ E (E ⊂ R)

• Si ∀ x ∈ E, f(x) = f(-x), entonces f es una función par.
• Si ∀ x ∈ E, f(x) = -f(-x), entonces f es una función impar.

Obtener el Ángulo

u.v = (1).(1) + (2).(2) + (3).(3)

|u| = √(1² + 1² + 1²) = √3

|v| = √(2² + 2² + 2²) = √12

cos O = (u.v)/(|u|.|v|)