Conceptos Fundamentales de Análisis Matemático: Puntos, Funciones y Teoremas

Punto Interior:

Sea S ⊆ ℝ^h se llama interior de S si existe una bola B(p,r) enteramente contenida en S. Los puntos interiores se representan por S⁰.

Puntos de Frontera:

Dado S ⊆ ℝ^h, un punto "p" es de frontera si en todo entorno suyo hay puntos de S y de S (suplementario).

Punto Aislado:

Dado S ⊆ ℝⁿ, "p" es aislado cuando existe un entorno suyo donde él es el único punto del conjunto.

Punto de Adherencia:

Dado S ⊆ ℝ^h y "p" ∈ ℝ^h, "p" contiene algún punto de S que tiene intersección no vacía con S, es decir, B(p,r) ∩ S distinta del vacío. S es el conjunto de los puntos de adherencia.

Puntos de Acumulación:

Si S ⊆ ℝⁿ y "p" ∈ ℝⁿ, "p" es de acumulación de S si cualquier bola B(p,r) corta a S en puntos distintos de "p" o si todo intervalo abierto que contiene a "p" contiene puntos de S distintos de "p". S^´ es el conjunto de los puntos de acumulación de S, S^´ ⊆ S.

Regla de Sandwich:

Para funciones. Sean f, g, h ∈ C(ℝ) funciones con valores reales definidos en un conjunto C ⊆ ℝ^p y sea a ∈ ℝ^p un punto de acumulación de C. Si lim_x→a f(x) = lim_x→a g(x) = l ∈ ℝ y f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) en la intersección de un entorno reducido de a con C, entonces existe lim_x→a h(x) = l.

Teorema de Bonet:

Sea f: U ⊆ ℝ^q una función definida en un abierto U ⊆ ℝ² y sea (a,b) ∈ C. Si "f" tiene derivadas parciales derivada de f/derivada de x, derivada de f/derivada de y, derivada² f / derivada de x por derivada de y, derivada² f / derivada de y por derivada de x en un entorno de (a,b) y las funciones derivada² f / derivada de x por derivada de y, derivada² f / derivada de y por derivada de x son continuas en (a,b), entonces derivada² f / derivada de x por derivada de y (a,b) = derivada² f / derivada de y por derivada de x (a,b).

Teorema de Schwarz:

Sea f: U ⊆ ℝ^q una función definida en un abierto U ⊆ ℝ² y sea (a,b) ∈ C. Si f tiene derivadas derivada de f/derivada de x, derivada de f/derivada de y, derivada² f / derivada de x por derivada de y, derivada² f / derivada de y por derivada de x en un entorno de (a,b) y la función derivada² f / derivada de x por derivada de y es continua en (a,b), entonces derivada² f / derivada de x por derivada de y (a,b) = derivada² f / derivada de y por derivada de x (a,b).

Función Cóncava en C:

Todo punto crítico de f es un máximo global.

Función Estrictamente Cóncava:

Hay a lo sumo un solo punto crítico y es máximo global.

Función Convexa en C:

Todo punto crítico "a" de "f" es un mínimo global.

Función Estrictamente Convexa:

En C hay a lo sumo un único punto crítico y en caso de existir sería un mínimo global.

Función Homogénea:

Dada una función f: C ⊆ ℝ → ℝ, se dice homogénea de grado α distinto de 0 en C si para x ∈ C y para cada t > 0 con tx ∈ C se verifica que f(tx) = t^α f(x), donde α es el grado de homogeneidad.

Teorema de Euler:

Sea f: C ⊆ ℝ^q una función diferenciable en un abierto C ⊆ ℝ^p. Si f es homogénea de grado α distinto de 0 en C, entonces:

• Si es una función f(x,y): derivada de f/derivada de x por x + derivada de f/derivada de y por y = α f(x,y).

Punto Crítico:

Sea f: C ⊆ ℝ → ℝ, se llaman puntos estacionarios o críticos de "f" a los puntos x⁰ ∈ C tal que derivada de f(x⁰) = 0.

Matriz Jacobiana:

Dadas las funciones f₁, f₂, …, f_n, la matriz jacobiana está formada por las primeras derivadas parciales de las funciones f₁, f₂, …, f_n.

Gradiente:

El gradiente es un vector que tiene como componentes las primeras derivadas de la función en un punto. Se representa como:

• ∇f(x⁰) = (derivada de f/derivada de x₁(x⁰), derivada de f/derivada de x₂(x⁰), …, derivada de f/derivada de x_n(x⁰)).

Máximo Local:

Diremos que una función "f" posee un máximo local si existe B(A,r) de modo que para todo x ∈ B, f(x) ≤ f(A).

Mínimo Local:

Diremos que una función "f" posee un mínimo local si existe B(A,r) de modo que para todo x ∈ B, f(A) ≤ f(x).

Máximo Absoluto:

El máximo absoluto de "f" en W se alcanza en el punto A ∈ W si para todo x ∈ W, f(x) ≤ f(A).

Matriz Hessiana:

Sea f: ℝ^h → ℝ. Llamaremos matriz hessiana de f a los elementos i,j que son las segundas derivadas de la función. La matriz hessiana es simétrica.

Diferenciabilidad:

f: ℝⁿ → ℝ^m. Dada la función f: ℝⁿ → ℝ^m, es diferenciable en el punto A ∈ ℝ si existe una aplicación lineal L: ℝⁿ → ℝ^m de modo que:

• (A+h) - f(A) = L(h) + o(h), donde lim_h→0 o(h)/h = 0.

Cuando f sea diferenciable en A, llamaremos a L diferencial de f en A, también la representaremos por D_Af(A) o f'(A), no se olvide que es una aplicación lineal.

Función Continua:

Una función definida en D ⊆ ℝⁿ es continua en un punto A ∈ D si:

1. lim_x→A f(x) = f(A), es decir, la continuidad de una función en un punto "A" abarca 3 hechos:
2. Debe estar definida en A.
3. "f" debe poseer límite en A.
4. Coincidencia del límite en A con f(A), es decir, para ε > 0 existe δ > 0 tal que |x - A| < δ implica |f(x) - f(A)| < ε.