Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Bases, Dependencia Lineal y Autovalores

Coordenadas y Combinación Lineal

Sea B = {v₁, v₂, . . . , v_n} una base de V. Para cada u ∈ V, llamaremos coordenadas de u en B a una n-upla de escalares λ₁, λ₂, . . . , λ_n tal que:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + . . . + λ_nv_n = u

Llamaremos combinación lineal de un conjunto de vectores v₁, v₂, . . . , v_k a cualquier expresión de la forma:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + . . . + λ_kv_k

donde λ₁, λ₂, . . . , λ_k ∈ K.

Sistema Generador

Sea V un espacio vectorial y S ⊂ V. Diremos que S es un sistema generador (s.g.) de V si cualquier vector de V se puede expresar como combinación lineal de elementos de S.

Independencia Lineal

Diremos que los vectores v₁, v₂, . . . , v_k son linealmente independientes (l.i.) si la única combinación lineal de ellos que es 0 es la que tiene nulos todos los escalares, es decir:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + . . . + λ_kv_k = 0 ⇒ λ₁ = λ₂ = . . . = λ_k = 0

Un conjunto infinito de vectores es l.i. si cualquier subconjunto finito de vectores es l.i.

Espacio Lineal Generado

Sea S ⊂ V con V espacio vectorial. Llamaremos espacio lineal generado por S al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S. Este conjunto se denotará lin(S).

Observaciones sobre lin(S):

• o.1) lin(S) satisface la condición de subespacio y, por tanto, es un subespacio vectorial de V.
• o.2) lin(S) es el menor subespacio vectorial que contiene a S, puesto que cualquier subespacio que contenga a S debe contener todas las combinaciones lineales de los vectores de S, es decir, debe contener a lin(S).
• o.3) S₁ ⊂ lin(S₂) ⇒ lin(S₁) ⊂ lin(S₂) puesto que al ser lin(S₂) un espacio vectorial, debe contener todas las combinaciones lineales de sus vectores.

Espacio de Filas y Columnas

Llamaremos espacio de filas y espacio de columnas respectivamente de la matriz A a los siguientes conjuntos:

fil(A) = lin{r₁, r₂, . . . , r_m}

col(A) = lin{c₁, c₂, . . . , c_n}

Autovectores y Autovalores

Sea V un espacio vectorial sobre ℂ y T : V → V una aplicación lineal. Diremos que v ∈ V - {0} es un vector propio o autovector de T si existe λ ∈ ℂ tal que T(v) = λv. En este caso, λ recibe el nombre de valor propio o autovalor de T.

Espacio Característico

Sea T : V → V una aplicación lineal y λ un autovalor de T. Llamaremos espacio característico de T asociado al autovalor λ al conjunto W_λ = {v ∈ V / T(v) = λv}. El espacio característico de una aplicación lineal asociado a un autovalor λ es, por tanto, al igual que sucedía con matrices, el conjunto formado por todos los autovectores correspondientes a ese autovalor junto con el vector nulo. Este conjunto es un subespacio vectorial de V.

Teorema de Dependencia Lineal

Sea V un espacio vectorial. Sean v₁, v₂, . . . , v_k ∈ V. Entonces v₁, v₂, . . . , v_k son linealmente dependientes (l.d.) ⇔ ∃j ∈ {1, 2, . . . , k} tal que:

v_j = Σ_{i=1, i≠j}^k α_iv_i

Demostración

v₁, v₂, . . . , v_k l.d. ⇒ ∃(β₁, β₂, . . . , β_k) ≠ (0, 0, . . . , 0) tal que Σ_i=1^k β_iv_i = 0

(β₁, β₂, . . . , β_k) ≠ (0, 0, . . . , 0) ⇒ ∃j ∈ {1, 2, . . . , k} / β_j ≠ 0

Podemos despejar v_j y tendremos:

v_j = Σ_{i=1, i≠j}^k (-β_i/β_j)v_i

Es decir, tendremos v_j expresado como combinación lineal de los restantes, como afirma el teorema.

v_j - Σ_{i=1, i≠j}^k α_iv_i = 0

Tenemos así una combinación lineal nula que no tiene nulos todos los escalares puesto que v_j va multiplicado por 1. Esto asegura la dependencia lineal de los vectores que aparecen en la combinación lineal.

Unicidad de los Escalares

Sea v ∈ lin{u₁, u₂, . . . , u_k} con u₁, u₂, . . . , u_k l.i. Entonces los escalares λ₁, λ₂, . . . , λ_k tales que v = Σ_i=1^k λ_iu_i son únicos.

Demostración

Supongamos que:

v = Σ_i=1^k α_iu_i = Σ_i=1^k β_iu_i

con (α₁, . . . , α_k) ≠ (β₁, . . . , β_k), es decir, con algún escalar distinto en las dos combinaciones lineales. Entonces:

0 = Σ_i=1^k α_iu_i - Σ_i=1^k β_iu_i = Σ_i=1^k (α_i - β_i)u_i