Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Bases, Aplicaciones y Diagonalización

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal

Bases y Sistemas Generadores

Base de un espacio vectorial: Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores (misma dimensión).

Sistema generador de un espacio vectorial: Es un conjunto de vectores que tienen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación lineal de los vectores del sistema generador.

Aplicaciones Lineales

Llamamos aplicación lineal u homomorfismo del K-espacio vectorial (U,+, ·) en el K-espacio vectorial (V,+, ·) a toda aplicación f : U → V tal que:

• A) f(u₁ + u₂) = f(u₁) + f(u₂)
• B) f (λ· u) = λ · f(u)

Valores y Vectores Propios

Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio de A si existe un vector, diferente del vector cero, x₀ tal que: A x₀ = λ x₀

Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A, el vector resultante mantiene la dirección; posiblemente, solo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x₀ se llama vector propio asociado al valor propio λ.

Diagonalización de Endomorfismos

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, diremos que el endomorfismo f:V → V es diagonalizable si existe una base de V tal que la representación de f en la base sea una matriz diagonal D. Si la matriz A ∈ M_n(k) es la representación de f en la base, diremos que A es diagonalizable en k si f es diagonalizable.

A es diagonalizable en K si ∃ P ∈ M_n (k) inversible tal que P^-1AP = D sea una matriz diagonal (A y F son matrices semejantes).

Matriz Inversa

Matriz inversa: Una matriz A de orden n (n filas y n columnas) tiene inversa cuando su rango es n, es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con su orden.

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A_n, y la representamos por A^-1, a la matriz que verifica la siguiente propiedad: A^-1·A = A·A^-1 = I. Decimos que una matriz cuadrada es regular si su determinante es distinto de cero, y es singular si su determinante es igual a cero.

Independencia y Dependencia Lineal

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal:

A₁*V₁ + A₂*V₂ + ... + A_n*V_n = 0

Polinomio Característico

Se asocia un polinomio a cada matriz cuadrada llamado polinomio característico. Dicho polinomio contiene una gran cantidad de información sobre la matriz; los más significativos son los valores propios, su determinante y su traza.