Conceptos Clave y Resolución de Problemas en Sistemas de Control

Errores en Diagramas de Bode

El error en estado estacionario en diagramas de Bode se determina de la siguiente manera:

• Error de posición (Kp): Se obtiene del valor del primer segmento horizontal del diagrama de magnitud. Si este valor es 20log(Kp), entonces Kp es el error de posición. Matemáticamente: lim_(w→0) G(jw)H(jw) = Kp
• Errores de velocidad (Kv) y aceleración (Ka): Se calculan encontrando la intersección de la recta w=1 con el segmento inicial del diagrama de magnitud (que tiene una pendiente de -20 dB/década o -40 dB/década). El valor en esta intersección es 20log(Kv) o 20log(Ka), respectivamente.

Conceptos en el Dominio de la Frecuencia

• Ganancia en Corriente Continua (Gcc): Es el valor de la magnitud de la función de transferencia cuando la frecuencia tiende a cero. Gcc = lim_(w→0) |G(jw)|
• Ancho de Banda (Wbw): Es la frecuencia a la cual la magnitud de la función de transferencia es igual a la ganancia en corriente continua dividida por la raíz cuadrada de 2. |G(jWbw)| = Gcc / √2
• Frecuencia de Resonancia (wr): Es la frecuencia a la cual se produce el máximo de resonancia (Mr = |M(jwr)|). Para que exista Mr, debe cumplirse que Mr > Mcc (donde Mcc = lim_(w→0) |M(jw)|). Para encontrar wr, se deriva la magnitud de la función de transferencia con respecto a la frecuencia y se iguala a cero: d|M(jw)|/dw = 0.

Variables de Estado

Las ecuaciones de estado se obtienen a partir de las leyes físicas que gobiernan el sistema. Para componentes eléctricos:

• Condensador: i = C(dV/dt)
• Bobina: V = L(dI/dt)

Las tensiones (V) en los condensadores y las corrientes (I) en las bobinas son, típicamente, las variables de estado. Se plantean las ecuaciones utilizando las fórmulas anteriores y las leyes de Kirchhoff (mallas y nodos). El objetivo es despejar las derivadas temporales de las variables de estado en un lado de la ecuación. Si hay varias derivadas temporales en una ecuación, se despeja una de ellas en otra ecuación y se sustituye en la primera.

Las ecuaciones de estado y salida se representan en forma matricial:

• Ecuación de estado: dX/dt = A*X + B*U
• Ecuación de salida: Y = C*X + D*U

Donde:

• X: Vector de variables de estado.
• U: Vector de entrada.
• Y: Vector de salida.
• A: Matriz de estado.
• B: Matriz de entrada.
• C: Matriz de salida.
• D: Matriz de transmisión directa (a menudo es cero).

Propiedades y cálculos relacionados:

• Controlabilidad: Se verifica mediante la matriz de controlabilidad: C = (B | AB | A²B | ... | A^(n-1)B). El sistema es controlable si el rango de C es igual al orden del sistema (n).
• Observabilidad: Se verifica mediante la matriz de observabilidad: O = (C | CA | CA² | ... | CA^(n-1))^T (transpuesta). El sistema es observable si el rango de O es igual al orden del sistema (n).
• Obtener G(s): La función de transferencia se puede obtener a partir de las matrices de estado: G(s) = C(sI - A)^-1B + D
• Ecuaciones de estado a partir de un diagrama: Se expresan las variables de estado según el diagrama y se ordenan para obtener s*x(s). Luego, se aplica la transformada inversa de Laplace para obtener las ecuaciones de estado en el dominio del tiempo.
• Diagrama de estados a partir de G(s): Se divide el numerador y el denominador de G(s) = Y(s)/U(s) entre la mayor potencia de 's' con su coeficiente, para que el denominador tenga un factor 1. Se multiplica ambos lados por X(s), se igualan Y(s) y U(s) con el numerador y el denominador, respectivamente. Se despeja X(s) del término con factor 1 en el denominador. Se construye el diagrama de estados, donde X(s) entra en el primer integrador, y sale s^-1x(s). Se toman las variables de estado a la salida de los integradores, comenzando por la derecha, de manera que x2 = dx1/dt, x3 = dx2/dt, y dx3/dt = x(s). Finalmente, se obtienen las ecuaciones de estado.
• Sistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma función de transferencia.
• Ecuación característica: Se obtiene del denominador de G(s), que es det(sI - A).

Ejemplo: Si se cambia la entrada de la planta por un controlador, tal que u = k(r - y) (lazo cerrado), la nueva entrada U a G(s) es k(r - y). Se sustituye U por esta expresión en las ecuaciones de estado.

Linealización

La linealización se utiliza para aproximar el comportamiento de un sistema no lineal alrededor de un punto de operación (punto de equilibrio). Se basa en la expansión en serie de Taylor:

f(y) - f(y0) ≈ (df/dy)_y0 * (y - y0)

Donde:

• y0: Punto de equilibrio.
• (df/dy)_y0: Derivada de f(y) evaluada en y0 (es la pendiente de la tangente en el punto de equilibrio, tgα).
• y~ = y - y0: Variación de y alrededor del punto de equilibrio.
• f(y)~ = f(y) - f(y0): Variación de f(y) alrededor del punto de equilibrio.

Pasos para linealizar:

1. Calcular el punto de equilibrio: Igualar a cero las derivadas de las variables de estado y resolver el sistema de ecuaciones resultante.
2. Calcular la derivada (tgα): Evaluar la derivada de la función no lineal en el punto de equilibrio.
3. Sustituir: f(y)~ = (df/dy)_y0 * y~. Como y~ = y - y0 (y0 es constante), d(y~)/dt = dy/dt. Se puede sustituir y por y~ en la expresión original.
4. Simplificar: Igualar f(y)~ = (df/dy)_y0 * y~ = f(y) - f(y0), y en f(y) las derivadas temporales se reemplazan por las derivadas de y~.
5. Despreciar términos no lineales: Eliminar términos con exponentes en la ecuación linealizada.

Si no se proporciona f(y) explícitamente, pero se da una ecuación no lineal igualada a cero, se calcula el punto de equilibrio y0, se define y~ = y - y0, y se añaden tildes (~) a las derivadas temporales.

Si se proporcionan puntos de funcionamiento, se linealizan las ecuaciones necesarias y se realizan los cálculos.

Para obtener las matrices A, B, C y D del modelo linealizado alrededor del punto de equilibrio (x10, x20, u0):

• A = (∂f1/∂x1 ∂f1/∂x2; ∂f2/∂x1 ∂f2/∂x2)
• B = (∂f1/∂u; ∂f2/∂u)^T (transpuesta)
• C = (∂g/∂x1 ∂g/∂x2)
• D = (∂g/∂u)

Donde f1 y f2 son las expresiones tales que dx1/dt = f1 y dx2/dt = f2, y g es la función de salida. Después de calcular las derivadas parciales, se sustituyen los valores del punto de equilibrio.

Sistemas Discretos

• Estabilidad: Un sistema discreto es estable si todos los polos (zi) de la función de transferencia en el plano z cumplen |zi| < 1. Si |zi| = 1, el sistema es marginalmente estable. Si |zi| > 1, el sistema es inestable.
• Transformación de ecuaciones diferenciales a z: u(k - n) = z^-n * u(z)
• Transformación de z a s:
  • Aproximación de la derivada: s ≈ (1 - z^-1) / T
  • Método de integración trapezoidal (Tustin): 1/s ≈ (T/2) * (1 + z^-1) / (1 - z^-1)
• Transformada z inversa (z → kT): Se divide la señal por la mayor potencia de z del denominador. Se realiza la división de polinomios y se obtiene una serie de potencias como cociente: x(kT) = a*z^-1 + b*z^-2 + ..., donde x(0) = 0, x(T) = a, x(2T) = b, ...
• Transformadas comunes:
  • Impulso unitario: δ(t) ↔ 1 ↔ 1
  • Escalón unitario: 1(t) ↔ 1/s ↔ z/(z - 1)
  • Rampa unitaria: t ↔ 1/s² ↔ Tz/(z - 1)²
  • Exponencial: e^-at ↔ 1/(s + a) ↔ z/(z - e^-aT)
• Ecuaciones en diferencias a partir de la transformada z: Si se tiene U(s)/E(s), se pasa a U(z)/E(z). Operando, se obtienen potencias negativas de z con coeficientes. Se realiza el cambio Uk - n = z^-n * U(z). Además, Uk - U(k - 1) = U(k + 1) - Uk.
• Teorema de Muestreo de Shannon: Establece la frecuencia mínima de muestreo (ws) para evitar la pérdida de información: ws > 2w1, donde w1 es la frecuencia máxima presente en la señal a muestrear. Para determinar w1, se observan los términos seno y coseno (sin elevar a ninguna potencia) en la señal. Se utilizan identidades trigonométricas como sen²(ωt) + cos²(ωt) = 1 y cos²(ωt) = (1 + cos(2ωt))/2 para simplificar.
• Relación décadas/octavas:
  • -40 dB/década ≈ -12 dB/octava
  • Ejemplo: 10^-2 = 0.01 décadas → -40 dB/década; 2^-2 = 0.25 octavas → -12 dB/octava

Retardo Puro

Un retardo puro tiene la forma e^-sT. Para analizar su efecto, se calcula la magnitud y el argumento de e^-jwT * G(jw). El argumento de e^-jwT es -wT y la magnitud es 1. Los problemas se resuelven de la manera habitual, teniendo en cuenta este retardo en la fase.

Transformadas de Laplace

• L^-1(F(s + a)) = f(t) * e^-at
• L^-1(1/s) = 1
• L^-1(1/(s + a)ⁿ) = t^(n-1) * e^-at / (n-1)!
• Usar la regla de L'Hôpital para resolver límites indeterminados.
• Para funciones definidas por partes: L(x(t)) = ∫₀^+∞ e^-st * x(t) dt
• Integración por partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du