Conceptos Clave y Propiedades de las Funciones Matemáticas

Conceptos Básicos de Funciones

Una función es una relación entre dos variables, generalmente denominadas x e y.

• x es la variable independiente.
• y es la variable dependiente.

La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se expresa como y = f(x), indicando que y es función de x.

Dominio de una Función

El dominio de definición de una función f, denotado como Dom f, es el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida, es decir, donde se puede calcular y = f(x).

Ejemplos de Dominio

• Funciones polinómicas: Las expresiones polinómicas, como y = 3x² + 2x - 7, están definidas para todos los números reales. Por lo tanto, Dom f = R (todos los números reales).
• Funciones con denominador: Las expresiones con x en el denominador no están definidas cuando el denominador es cero. Por ejemplo, en la función y = 1/x, x puede tomar cualquier valor excepto x = 0. Entonces, Dom f = R - {0} (todos los números reales excepto el cero).
• Funciones con raíces cuadradas: Las raíces cuadradas solo están definidas para números no negativos. Por ejemplo, en y = √(x - 1), se requiere que x ≥ 1. Por lo tanto, Dom f = [1, +∞).

Funciones Definidas a Trozos

Una función definida a trozos es aquella que se define mediante diferentes expresiones en distintos intervalos de su dominio.

Intervalos

• Intervalo Abierto (a, b): Conjunto de números reales x tales que a < x < b (no incluye a ni b).
• Intervalo Cerrado [a, b]: Conjunto de números reales x tales que a ≤ x ≤ b (incluye a y b).
• Intervalos Semiabiertos o Semicerrados:
  • [a, b): a ≤ x < b (incluye a, no incluye b).
  • (a, b]: a < x ≤ b (no incluye a, incluye b).

Máximos y Mínimos

Máximo Absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en x = a si la ordenada f(a) es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio.

Mínimo Absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en x = b si la ordenada f(b) es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio.

Máximos y Mínimos Relativos

• Máximo Relativo: Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos a a.
• Mínimo Relativo: Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos a b.

Propiedades de las Funciones

Continuidad

Una función y = f(x) es continua si se puede representar en todo su dominio mediante un trazo continuo, es decir, sin levantar el lápiz del papel al dibujar su gráfica.

Crecimiento y Decrecimiento

El crecimiento y decrecimiento se analizan por intervalos:

• Si f(b) > f(a), la función es creciente entre a y b.
• Si f(b) < f(a), la función es decreciente entre a y b.
• Si f(a) = f(b), la función es constante entre a y b.

Una gráfica es creciente en un tramo si, al aumentar la variable independiente x, aumenta también la variable dependiente y.

Función creciente

Función decreciente

Simetría

• Simetría respecto al eje de ordenadas (Función par): Una función f es simétrica respecto al eje de ordenadas si f(-x) = f(x).

• Simetría respecto al origen (Función impar): Una función f es simétrica respecto al origen si f(-x) = -f(x).

Funciones Periódicas

Una función f(x) es periódica con periodo k si se verifica que f(x) = f(x + nk), donde k es un entero.

Vectores y Rectas

Vectores

Cálculo del módulo de un vector:

Vector director: (v1, v2)

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación vectorial:

Ecuaciones paramétricas:

Ecuación continua:

Ecuación punto-pendiente: y - b = m(x - a), donde m es la pendiente. Ecuación explícita: y = mx + n, donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. También se puede expresar como y = (v2/v1)x + (b - (v2/v1)a). Ecuación general: Ax + By + C = 0

Trigonometría

Relación entre radianes y grados sexagesimales:

• 2π radianes ⇔ 360° sexagesimales
• π rad ⇔ 180°