Conceptos Clave de Probabilidad y Estadística: Espacios Muestrales, Variables Aleatorias y Distribuciones

Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística

Fenómenos Aleatorios y Determinísticos

Fenómeno o Experimento Aleatorio: Es aquel que tiene dos o más resultados posibles, y no se puede predecir con certeza cuál ocurrirá.

Fenómeno o Experimento Determinístico: Es aquel que tiene dos o más resultados, y se sabe con certeza lo que ocurrirá.

Espacio Muestral y Sucesos

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un fenómeno aleatorio.

Suceso o Evento: Es un subconjunto del espacio muestral.

Tipos de Sucesos

1. Suceso Simple o Elemental: Contiene solo un elemento del espacio muestral.
2. Suceso Imposible: Nunca ocurre.
3. Suceso Seguro: Siempre ocurre y se asocia al conjunto universal.
4. Suceso Contrario de A: La ocurrencia de "no A" se asocia con el conjunto complementario de A.
5. Suceso Compuesto: Implica la ocurrencia simultánea de varios sucesos elementales.
6. Suceso Total: Implica la ocurrencia de al menos uno de los sucesos, lo que se traduce en la unión de conjuntos.

Técnicas de Conteo

Las técnicas de conteo son herramientas para determinar el número de resultados posibles en un experimento.

Principio de Multiplicación: Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, después un tercer evento de n3 maneras, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto: n1 x n2 x n3 ...

Permutaciones: Son los diferentes arreglos u ordenaciones que se pueden hacer con todos o parte de los elementos de un conjunto. Sí importa el orden. Ejemplo: presidente, vicepresidente, secretario.

Combinaciones: Son arreglos de un cierto número de objetos tomados de un conjunto. No importa el orden.

Variables Aleatorias y Distribuciones

Variable Aleatoria

Variable Aleatoria X: Es una función que asigna a cada elemento del espacio muestral (U) un número real. La imagen inversa de un subconjunto de números reales es un evento o suceso de U.

Distribución de Bernoulli

Distribución de Bernoulli: Se origina al realizar experimentos aleatorios dicotómicos (con dos resultados posibles). A uno se le llama Éxito (con probabilidad p) y al otro Fracaso (con probabilidad q = 1 - p).

Distribución Binomial

Distribución Binomial: Se origina al realizar varios ensayos de Bernoulli independientes. El cálculo de la probabilidad puede ser complejo cuando el número de ensayos es grande.

Distribución Normal (o de Gauss)

Distribución Normal: De Moivre (1783) descubrió que cuando n (el número de ensayos en una distribución binomial) tiende a infinito, la distribución binomial tiende a una distribución continua cuya gráfica tiene forma de campana. Es simétrica y asintótica con respecto al eje x. El recorrido de la variable va de -∞ a +∞. El área bajo la curva representa la probabilidad total, que es igual a 1. Debido a la simetría, el área a la izquierda de la media es 0.5 y a la derecha también es 0.5.

Para calcular probabilidades, se transforma la variable X en la variable Z, dando origen a la Distribución Normal Estándar, con media 0 y varianza 1.

Problema Inverso

En el problema inverso, se da el área (o probabilidad) y se pide encontrar el valor de Z o X. Ejemplo: Dada una distribución normal estándar Z ~ N(0,1), encuentre el área bajo la curva que se encuentra a la izquierda de un valor específico de z. En este caso, se busca el valor de z en las tablas de la distribución normal estándar o se utiliza software estadístico.