Conceptos Clave de Geoestadística: Variables Regionalizadas, Funciones Aleatorias y Variogramas

Conceptos Fundamentales en Geoestadística

1. Variable Regionalizada

¿Qué se entiende por variable regionalizada?

Es una función numérica que mide un atributo específico y presenta una estructura o distribución en el espacio (por ejemplo, la ley de cobre en un yacimiento). Su valor característico es que depende de su posición en el espacio o, en algunos casos, en el tiempo.

Una variable puede considerarse regionalizada si está distribuida en el espacio y muestra algún grado de correlación espacial entre sus valores cercanos.

2. Función Aleatoria

¿Qué es una función aleatoria?

Es un conjunto o colección de variables aleatorias distribuidas en el espacio. Cada variable aleatoria dentro de la función está identificada por sus coordenadas espaciales correspondientes. La dependencia entre estas variables aleatorias se rige por un mecanismo probabilístico (a menudo descrito en términos de su estructura de covarianza o variograma).

La geoestadística se ocupa fundamentalmente del estudio y modelización de este tipo de funciones.

3. Variable Aleatoria

¿Qué es una variable aleatoria?

Es aquella variable cuyos valores se generan aleatoriamente, siguiendo un determinado mecanismo probabilístico. Un ejemplo clásico es el resultado de lanzar un dado, donde existen 6 posibles resultados equiprobables.

En el contexto de la estadística clásica, los valores muestreados de una variable aleatoria se suponen independientes unos de otros y que obedecen a la misma distribución de probabilidad.

4. Anisotropía

¿Qué es la anisotropía?

En geoestadística, la anisotropía se refiere a la variación de la continuidad espacial (medida, por ejemplo, por el variograma) según la dirección considerada. Es una medida de los cambios en la estructura de la mineralización o del fenómeno estudiado; puede indicar la existencia de zonas de alta, regular o baja continuidad, o una dirección privilegiada de continuidad (como la dirección de una veta).

Esto puede caracterizarse, principalmente, en dos tipos de anisotropía para los variogramas:

• Anisotropía Geométrica: Los variogramas calculados en las direcciones principales presentan el mismo valor de meseta, pero tienen alcances distintos. La continuidad espacial varía en rango según la dirección.
• Anisotropía Zonal: Los variogramas presentan distinto valor de meseta (y usualmente distinto alcance) para diferentes direcciones. La variabilidad total del fenómeno cambia con la dirección.

Nota: El texto original mencionaba una 'Anisotropía Híbrida', que a menudo se refiere a una combinación de las anteriores o casos más complejos.

5. Estacionariedad

¿Qué es la estacionariedad?

La estacionariedad es una hipótesis o suposición fundamental en geoestadística que simplifica el análisis de las variables regionalizadas. Se refiere a la invarianza de ciertas propiedades estadísticas de la función aleatoria respecto a la localización.

Existen diferentes grados de estacionariedad, siendo común la hipótesis de estacionariedad de segundo orden (media constante y covarianza dependiente solo del vector de separación entre puntos) o la hipótesis intrínseca (incrementos con media cero y varianza dependiente solo del vector de separación, lo que valida el uso del variograma).

La decisión de asumir estacionariedad se toma a partir del análisis de los datos disponibles y depende de la homogeneidad espacial de las características estadísticas (como la media y la varianza) en la región de estudio.

6. Relación entre Variograma y Covariograma

Explique la relación que existe entre el variograma y el covariograma.

Bajo la hipótesis de estacionariedad de segundo orden, el variograma (γ(h)) y el covariograma (C(h)) están directamente relacionados. El variograma mide la semivarianza de los incrementos entre puntos separados por una distancia y dirección h, mientras que el covariograma mide la covarianza entre esos mismos puntos.

Su relación matemática es: γ(h) = C(0) - C(h)

Donde C(0) es la covarianza a distancia cero, que equivale a la varianza de la variable. Ambas funciones describen la estructura de correlación espacial de los datos. El punto donde el variograma alcanza la meseta (su valor máximo, igual a la varianza C(0)) corresponde a la distancia (alcance) más allá de la cual las variables se consideran espacialmente incorreladas (C(h) ≈ 0).

7. Variable Aleatoria vs. Función Aleatoria

¿Diría usted que una variable aleatoria es lo mismo que una función aleatoria?

No, no es lo mismo.

• Una variable aleatoria es un valor único cuyo resultado se rige por el azar (probabilidad). En muestreo clásico, se asume independencia entre diferentes realizaciones de la variable.
• Una función aleatoria es una colección de infinitas variables aleatorias distribuidas en el espacio (una para cada punto del dominio). Lo crucial es que estas variables aleatorias suelen estar correlacionadas entre sí, y la geoestadística estudia precisamente esa estructura de dependencia espacial.

8. Variograma

¿Qué es el variograma?

El variograma (o, más estrictamente, semivariograma) es una herramienta fundamental en geoestadística. Es una función que describe el grado de dependencia espacial entre datos en función de la distancia y dirección de separación (vector h).

Se calcula como la mitad del promedio de las diferencias al cuadrado entre los valores de pares de puntos separados por h: γ(h) = ½ E{[Z(x+h) - Z(x)]²}.

Gráficamente, representa cómo aumenta la dissimilaridad (varianza) entre los valores a medida que aumenta la distancia de separación. Describe el comportamiento espacial de la variable, mostrando la distancia máxima (alcance) hasta la cual los valores están correlacionados y la variabilidad total (meseta).

9. Modelo de Bloques en un Yacimiento Errático

En un yacimiento errático, ¿qué decisión toma usted con respecto al tamaño del modelo de bloque y por qué?

Las opciones presentadas son:

1. Agrandar la altura del bloque.
2. Disminuir las dimensiones del bloque.
3. Disminuir al menos dos dimensiones del modelo de bloque.

Respuesta y Justificación:

En un yacimiento errático, caracterizado por una alta variabilidad espacial a corta distancia, generalmente se opta por disminuir las dimensiones del bloque (opción 2 o 3). La justificación es:

• Un tamaño de bloque menor permite capturar mejor la variabilidad local y la distribución irregular de las leyes o propiedades del yacimiento.
• Bloques más pequeños reducen el suavizamiento de las estimaciones, proporcionando una representación más detallada y potencialmente más precisa de la distribución espacial del recurso.
• Aunque la media estimada dentro de los bloques puede ser similar, la varianza entre bloques aumentará, reflejando mejor la naturaleza errática del depósito. Disminuir al menos dos dimensiones (opción 3) es una forma específica de implementar la opción 2, adaptándose a la anisotropía del yacimiento si es necesario.

10. Alcance Práctico

¿Qué es el alcance práctico y en qué tipo de variograma se emplea?

El alcance práctico (o efectivo) es un concepto utilizado principalmente con modelos de variograma que son asintóticos a la meseta, como el modelo exponencial. En estos modelos, teóricamente, el variograma solo alcanza el valor de la meseta en el infinito.

Dado que esto no es útil en la práctica, se define un alcance práctico como la distancia h a la cual el valor del variograma γ(h) alcanza un porcentaje significativo de su valor de meseta (C), comúnmente el 95%.

Por lo tanto, el alcance práctico (a_p) para un modelo exponencial se define tal que: γ(a_p) = 0.95 * C. Esta distancia se considera, a efectos prácticos, como el límite de la correlación espacial.

11. Cotas Topográficas como Variable Regionalizada

¿Diría usted que las cotas de la topografía siguiente son una Variable Regionalizada (V.R.)?

Sí, las cotas (elevaciones) de una superficie topográfica son un ejemplo clásico de variable regionalizada.

Justificación:

Una cota topográfica es una función Z(x), donde Z representa la elevación en una ubicación espacial x (dada por coordenadas, por ejemplo, Este y Norte). El valor de la elevación está intrínsecamente ligado a su posición geográfica. Además, las cotas topográficas suelen presentar una fuerte correlación espacial: puntos cercanos tienden a tener elevaciones más similares que puntos lejanos. Por lo tanto, cumplen las características definitorias de una variable regionalizada: dependen de la posición y tienen una estructura de continuidad espacial.