Conceptos Clave de Funciones Matemáticas: Tipos, Propiedades y Ejemplos

Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas

Una función es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto X uno y solo un elemento de un conjunto Y. Es una relación especial entre los elementos de dos conjuntos.

Elementos de una Función

• Dominio: En una función f: A -> B, el dominio corresponde al primer conjunto (A).
• Codominio: Es el nombre que se le da al segundo conjunto (B), que contiene los valores relacionados con los elementos del primer conjunto o dominio.
• Imagen de una Función: La asociación a través de la función (f) de los conjuntos A y B, o de A hacia B (f: A -> B), conlleva a la asociación de cada uno de los elementos del conjunto A a un único elemento del conjunto B.

Características de una Función

Una función establece una relación entre dos conjuntos, que no necesariamente son números. Cada elemento del conjunto A corresponde a un elemento del conjunto B.

La regla de correspondencia define cómo se establece la relación que asocia cada elemento de un conjunto con algún elemento de otro.

Intervalos y Desigualdades

• Intervalo: Es la longitud que comprende de un punto a otro en el eje de las X y tiene dos límites (superior e inferior).
• Intervalos Abiertos: No consideran sus límites como valores reales del intervalo (se denota con un círculo abierto o paréntesis).
• Intervalos Cerrados: Son aquellos en los cuales sí es posible considerar sus límites y se denotan con un círculo cerrado o corchetes.
• Desigualdades: Es una expresión algebraica cuyo conjunto de soluciones está determinado por un número infinito de valores. Las inecuaciones se resuelven aplicando las reglas de una igualdad. Existen variaciones fundamentales como el cambio de signos en el caso de que ambos miembros sean negativos.

Tipos de Funciones

Las funciones se clasifican en varios tipos:

• Algebraicas y Trascendentes
• Continuas y Discontinuas
• Crecientes y Decrecientes

Funciones Algebraicas

Son aquellas que pueden construirse utilizando operaciones algebraicas (sustracción, multiplicación, división y extracción de raíz) a partir de polinomios.

Funciones Trascendentes

Es aquella que contiene una raíz afectando a una variable y se emplean dentro de las exponenciales y logarítmicas.

Funciones Exponenciales

Son aquellas cuya base es un número fijo y un exponente es una variable. Existen dos tipos: las de base 'a', que se representan a cualquier número positivo entero, y las de base 'e', cuyo número de base es cualquiera de los logaritmos naturales, el cual equivale a 2.7182818...

Propiedades de las Funciones Exponenciales

Son consecuencia de las leyes de los exponentes, las cuales han sido analizadas hasta números racionales, de forma a^m/aⁿ, siendo m y n dos números enteros diferentes de 0, a es igual a 1. Las gráficas de las funciones exponenciales son de 2 tipos: ascendente y descendente.

Funciones Logarítmicas

Son utilizadas principalmente para la simplificación de operaciones aritméticas.

Funciones Continuas y Discontinuas

Una función es continua en un número 'a' si el límite f(x) = f(a) cuando x -> a. Es discontinua en 'a' si f no es continua en 'a'.

Funciones Crecientes y Decrecientes

Una función es creciente en un intervalo si y solo si f(x1) < f(x2). Es decreciente si f(x1) > f(x2).

Función Inversa

Se llama así al recíproco de la función dada, que se representa por medio de f^-1(x). Es necesario despejar la variable independiente.

Funciones Especiales

Son diferentes a las demás funciones y se caracterizan porque su algoritmo puede ser absoluto.

• Valor Absoluto: Están definidas por dos líneas verticales y el valor siempre será positivo.
• Función de Escalón: Formada por dos o más escalones definidos por intervalos en el eje de las X.
• Función Polinomial: Son aquellas funciones algebraicas cuya regla de correspondencia es un polinomio de grado 'n'.
• Polinomio: Estructura de más de tres términos.
• Función Lineal: Es la expresión o función cuya ecuación es y = mx + b, donde 'm' es la pendiente y 'b' es la intersección con el eje de las X o Y.
• Función Constante: Si su ecuación es f(x) = a, donde 'a' es un valor constante en el dominio de R.
• Función Cuadrática: Es de la forma f(x) = ax² + bx + c. 'x' es una variable.