Conceptos Clave de Funciones Matemáticas: Dominio, Recorrido y Tipos

Conceptos Fundamentales de Funciones

Una función es una relación entre los valores de dos magnitudes variables, de modo que a cada valor de la primera magnitud le corresponde uno y sólo uno de la segunda.

• Variable independiente: La variable que se conoce previamente.
• Variable dependiente: Los valores que se determinan a partir de los valores de la variable independiente.
• Dominio: El conjunto de valores de X para los que existe la imagen Y.
• Recorrido: El conjunto de los valores de Y que son imagen de algún valor de X.

Crecimiento y Decrecimiento

Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de la variable independiente, aumentan los valores de la variable dependiente. Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente.

Tasa de Variación Media

La tasa de variación media de una función en un intervalo [a, b] es el resultado de dividir la variación de la variable dependiente, f(b) - f(a), entre el incremento de la variable independiente, b - a.

Máximos y Mínimos

Una función tiene un máximo en un punto si el valor de la función en este punto es mayor que en el resto de puntos cercanos. Una función f(x) tiene un mínimo en un punto si el valor de la función en este punto es más pequeño que en el resto de puntos próximos.

Convexidad y Concavidad

Si en un intervalo la tasa de variación media de una función es cada vez más pequeña, la gráfica de la función en este intervalo es convexa. Si en un intervalo la tasa de variación media de una función es cada vez más grande, la gráfica de la función en este intervalo es cóncava.

Punto de Inflexión

Una función tiene un punto de inflexión en un punto (a, f(a)) cuando su gráfica pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava en este punto.

Continuidad y Discontinuidad

Una función es continua cuando podemos dibujar su gráfica en el dominio de definición de un solo trazo, es decir, la gráfica no presenta interrupciones. En caso contrario, es discontinua.

Simetría

La gráfica de una función es simétrica respecto al eje de ordenadas si a cualquier valor x de la variable independiente y al valor opuesto -x les corresponde una misma imagen. La gráfica de una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si para cualquier valor x de la variable independiente se cumple una condición específica.

Periodicidad

Una función es periódica cuando los valores de la variable dependiente se repiten a intervalos iguales de la variable independiente. En una función periódica, existe una constante T, llamada período de la función, que transcurrido un intervalo de longitud T, la gráfica de la función se repite.

Tipos de Funciones

Función Constante

Una función constante asigna a cualquier valor de la variable independiente un mismo valor de la variable dependiente. Su expresión algebraica es de la forma f(x) = k, donde K es un número real. La gráfica es una recta paralela al eje de abscisas.

Funciones Lineales

Las funciones lineales describen relaciones de proporcionalidad directa entre las variables. Tienen la forma f(x) = mx, donde m es un número real distinto de 0. La gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Función Afín

Una función afín se obtiene cuando al sumar o restar una constante a los valores de una función lineal. Tiene la forma f(x) = mx + n, donde m y n son números reales distintos de 0.

Tasa de Variación en Funciones Lineales y Afines

La tasa de variación media de una función lineal o afín es constante. El pendiente de la gráfica de una función lineal o afín es m, que coincide con la tasa de variación media.

Función Cuadrática

Una función cuadrática es aquella cuya expresión algebraica corresponde a un polinomio de segundo grado.

Proporcionalidad

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al doble o al triple de una, le corresponde el doble o triple de la otra. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al doble o al triple de una, le corresponde la mitad o el tercio de la otra. Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto entre valores correspondientes es constante y se llama constante de proporcionalidad inversa. Las funciones de proporcionalidad inversa transforman los valores de la variable independiente en la división de una constante por cada uno de estos valores.