Conceptos clave de funciones, límites, derivadas y cálculo

Tipos de Funciones y sus Dominios

Funciones Lineales

Ejemplo: f(x) = x + 5, f(x) = x² + 3x + 2, f(x) = x⁴ - 2x

Dominio: D(f(x)) = ℝ

Funciones Racionales

Ejemplo: f(x) = 1 / (x - 5)

Cálculo del dominio: x - 5 = 0 => x = 5

Dominio: D(f(x)) = ℝ - {5}

Ejemplo:f(x) = (5x + 6) / (x² - 4)

Cálculo del dominio: x² - 4 = 0 => x = ±2

Dominio: D(f(x)) = ℝ - {-2, 2}

Funciones Radicales

• Índice impar: Dominio: D(f(x)) = ℝ
• Índice par:
  • Subradical ≥ 0.
  • Ejemplo: Si la raíz cuadrada de (x-3), entonces x-3>=0; D(f(x)) = [3, +∞)

Funciones Racionales con Radicales

• Índice impar:
  • Igualar el denominador a 0.
  • Ejemplo: Si el denominador es la raíz cúbica de x+3, entonces x+3=0; D(f(x)) = ℝ - {-3}
• Índice par:
  • Denominador > 0.
  • Ejemplo: Si denominador es la raíz cuadrada de x+7, entonces x+7>0; D(f(x)) = (-7, +∞)

Funciones Logarítmicas

El argumento debe ser mayor que 0.

Ejemplo: f(x) = log(x + 3)

Cálculo del dominio: x + 3 > 0 => x > -3

Dominio: D(f(x)) = (-3, +∞)

Límites

Límites Laterales

Para que exista el límite de una función cuando x tiende a un número, el límite por la derecha debe ser igual al límite por la izquierda.

Asíntotas

Asíntotas Verticales (A.V.)

Se encuentran en los puntos que no pertenecen al dominio de la función.

Se calcula el límite de x tendiendo al número que no pertenece al dominio. Debe resultar una indeterminación del tipo k/0 para poder calcular los límites laterales. Si no resulta esta indeterminación, no existe asíntota vertical.

Asíntotas Horizontales (A.H.)

Se calcula el límite de la función cuando x tiende a +∞ y -∞. Si el resultado es un número, existe asíntota horizontal.

Asíntotas Oblicuas (A.O.)

Si no hay asíntotas horizontales, puede haber asíntotas oblicuas.

Se calculan mediante la fórmula: y = mx + n

• m = lim_x→∞ (f(x) / x)
• n = lim_x→∞ (f(x) - mx)

Continuidad

Para que una función sea continua en un punto x = a, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. Existe f(a).
2. Existe lim_x→a f(x) (los límites laterales deben ser iguales).
3. f(a) = lim_x→a f(x) (los valores de los puntos 1 y 2 deben ser iguales).

Para calcular el valor de un parámetro m que haga continua una función a trozos, se deben igualar los límites laterales de las funciones en el punto de cambio de definición y despejar m.

Indeterminaciones

• k/0: Se resuelven calculando los límites laterales.
• ∞/∞: Se divide entre la x de mayor grado.
• ∞ - ∞:
  • Si hay raíces: Se multiplica y divide por el conjugado.
  • Si hay fracciones: Se realiza la suma de fracciones algebraicas (mínimo común múltiplo del denominador y se multiplica por el numerador, se suman las x, etc.).
• 0/0:
  • Si hay un polinomio: Se factoriza, se simplifica y se resuelve.
  • Si hay una raíz: Se multiplica y divide por el conjugado.
• 1^∞: Se resuelve mediante la fórmula: e^{lim_x→... g(x)·(f(x)-1)}

Casos especiales:

• 0/1 = 0
• 8/∞ = 0

Recta Tangente y Normal

Recta Tangente

Fórmula: y - y₀ = m(x - x₀)

• x₀ = x
• y₀ = f(x₀)
• m = f'(x₀) (derivada de la función evaluada en x₀)

Si se da m, se iguala m a la derivada de la función para obtener x₀.

Recta Normal

Fórmula: y - y₀ = (-1/m)(x - x₀)

Monotonía (Crecimiento y Decrecimiento)

Se calcula la derivada de la función, se iguala a 0 para calcular los puntos críticos (posibles máximos y mínimos) y se consideran también los puntos fuera del dominio. Se evalúa la derivada en intervalos definidos por estos puntos para determinar si la función crece o decrece.

Máximos y Mínimos

Se calculan utilizando la función original (sin derivar) y los puntos críticos obtenidos en el estudio de la monotonía.

Derivadas

Funciones Simples

• xⁿ = n · x^n-1
• Raíz n-ésima de x = 1 / (n · ⁿ√(x^n-1))
• a^x = a^x · ln(a)
• ln(x) = 1/x
• log_a(x) = 1 / (x · log_a(e)) = 1/(x.ln a)

Funciones Compuestas

• Raíz n-ésima de f(x) = f'(x) / (n · ⁿ√(f(x)^n-1))
• e^f(x) = e^f(x) · f'(x)
• a^f(x) = a^f(x) · f'(x) · ln(a)
• ln(f(x)) = f'(x) / f(x)
• log_a(f(x)) = f'(x) / (f(x) · ln(a))

Derivadas Trigonométricas

• cos(x) = -sin(x)
• sin(x) = cos(x)
• tan(x) = 1 + tan²(x)
• arcsin(x) = 1 / √(1 - x²)
• arccos(x) = -1 / √(1 - x²)
• arctan(x) = 1 / (1 + x²)
• sin(f(x)) = cos(f(x)) · f'(x)
• cos(f(x)) = -sin(f(x)) · f'(x)
• tan(f(x)) = (1 + tan²(f(x))) · f'(x)
• arcsin(f(x)) = f'(x) / √(1 - f(x)²)
• arccos(f(x)) = -f'(x) / √(1 - f(x)²)
• arctan(f(x)) = f'(x) / (1 + f(x)²)

Reglas de Derivación

• f(x) + g(x) = f'(x) + g'(x)
• f(x) · g(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
• f(x) / g(x) = (f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)) / g(x)²