Conceptos Clave de Funciones y Ecuaciones Matemáticas

Dominio de Funciones

Dominio de Funciones Racionales

Para F(x) = (x² + 1) / (x² + 5x + 6), el denominador no puede ser cero.

x² + 5x + 6 = 0

(x + 3)(x + 2) = 0

Esto implica x + 3 = 0 o x + 2 = 0

x = -3, x = -2

Dominio F(x) = ℝ - {-3, -2}

Dominio de Funciones con Raíz Cuadrada

Para F(x) = √(2x - 3), el radicando debe ser mayor o igual a cero.

2x - 3 ≥ 0

2x ≥ 3

x ≥ 3/2

Dominio F(x) = {x ∈ ℝ | x ≥ 3/2} o Dominio F(x) = [3/2, +∞)

Nota: Si la raíz es de índice impar (ej. raíz cúbica), el radicando puede ser cualquier número real.

Recorrido de una Función

Para encontrar el recorrido, sigue los siguientes pasos:

1. A) Cambiar F(x) por Y.
2. B) Despejar X en términos de Y.
3. C) Analizar los valores que puede tomar Y.

Ejemplos de Recorrido

Ejemplo 1: F(x) = 3x - 6

(A) Y = 3x - 6

(B) Y + 6 = 3x => X = (Y + 6) / 3

(C) Y puede tomar cualquier valor real.

Recorrido F(x) = ℝ

Ejemplo 2: F(x) = √(3x - 6)

(A) Y = √(3x - 6)

(B) Y² = 3x - 6 => Y² + 6 = 3x => X = (Y² + 6) / 3

(C) Para que Y = √(3x-6) tenga sentido en los reales, Y debe ser mayor o igual a cero.

Recorrido F(x) = [0, +∞)

Función Inversa

Para encontrar F^-1(x), sigue los pasos:

1. (A) Cambiar F(x) por Y.
2. (B) Despejar X en términos de Y.
3. (C) Intercambiar X por Y e Y por X.
4. (D) Reemplazar Y por F^-1(x).

Ejemplo de Función Inversa

Hallar F^-1(x) de: F(x) = 5x - 8

(A) Y = 5x - 8

(B) Y + 8 = 5x => X = (Y + 8) / 5

(C) Y = (x + 8) / 5

(D) F^-1(x) = (x + 8) / 5

Función Lineal (Primer Grado)

La forma general es Y = mx + n, donde m es la pendiente y n es la ordenada al origen.

La fórmula de la pendiente dados dos puntos P₁ (X₁, Y₁) y P₂ (X₂, Y₂) es:

m = (Y₂ - Y₁) / (X₂ - X₁)

El ángulo θ que forma la recta con el eje X se obtiene con θ = tan^-1(m).

Ecuación de la Recta Punto-Pendiente

La forma punto-pendiente es: Y - Y₁ = m(x - X₁)

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁ (3, -6) y P₂ (1, 4).

Cálculo de la pendiente:

m = (4 - (-6)) / (1 - 3) = (4 + 6) / (-2) = 10 / -2 = -5

m = -5

Usando m = -5 y el punto P₁ (3, -6):

Y - Y₁ = m(x - X₁)

Y - (-6) = -5(x - 3)

Y + 6 = -5x + 15

Y = -5x + 15 - 6

Y = -5x + 9 (Ecuación principal de la recta)

Para graficar, se pueden usar los puntos P₁ y P₂. El ángulo θ con el eje X es θ = tan^-1(-5) ≈ -78.69°

Condición de perpendicularidad: Si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1 (m₁ * m₂ = -1).

Función Cuadrática

Forma general: ax² + bx + c = 0 (donde a, b, c son números reales y a ≠ 0)

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

Ejemplo 1 (b=0): 5x² - 45 = 0

5x² = 45

x² = 45 / 5

x² = 9

x = ±√9

x₁ = 3, x₂ = -3

Ejemplo 2 (c=0): ax² + bx = 0

3x² - 8x = 0

x(3x - 8) = 0

Esto implica x = 0 o 3x - 8 = 0

3x = 8

x = 8/3

x₁ = 0, x₂ = 8/3

Ejemplo 3 (a=1): x² + bx + c = 0

x² + 5x + 6 = 0

(x + 3)(x + 2) = 0

Esto implica x + 3 = 0 o x + 2 = 0

x₁ = -3, x₂ = -2

Fórmula General (Resolvente)

La fórmula para encontrar las raíces de ax² + bx + c = 0 es:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Ejemplo: Resolver 3x² + 15x + 18 = 0 (a=3, b=15, c=18)

x = (-15 ± √(15² - 4 * 3 * 18)) / (2 * 3)

x = (-15 ± √(225 - 216)) / 6

x = (-15 ± √9) / 6

x = (-15 ± 3) / 6

x₁ = (-15 + 3) / 6 = -12 / 6 = -2

x₂ = (-15 - 3) / 6 = -18 / 6 = -3

Análisis Gráfico de la Función Cuadrática

Para analizar la gráfica de F(x) = ax² + bx + c:

1. (A) Intersección con el eje Y: Corresponde al punto (0, c).
2. (B) Intersección con el eje X (Raíces): Se encuentran resolviendo F(x) = 0 para hallar x₁ y x₂.
3. (C) Concavidad: Si a > 0, la parábola abre hacia arriba (forma de U). Si a < 0, la parábola abre hacia abajo.
4. (D) Vértice de la parábola V(x_v, y_v): La coordenada x del vértice (x_v) se calcula como x_v = (x₁ + x₂) / 2 o x_v = -b / (2a). La coordenada y del vértice (y_v) se calcula como y_v = (4ac - b²) / (4a) o, evaluando la función en x_v: y_v = F(x_v).
5. (E) Bosquejo de la gráfica.

Ejemplo de Análisis Gráfico: F(x) = x² - 7x + 6

Intersección con el eje Y

Punto: (0, c) = (0, 6)

Intersección con el eje X (Raíces)

F(x) = 0

x² - 7x + 6 = 0

(x - 6)(x - 1) = 0

x₁ = 6, x₂ = 1

Concavidad

Como a = 1 > 0, la parábola abre hacia arriba (U).

Vértice

x_v = (x₁ + x₂) / 2 = (6 + 1) / 2 = 7/2 = 3.5

y_v = F(3.5) = (3.5)² - 7(3.5) + 6 = 12.25 - 24.5 + 6 = -6.25

Alternativa con fórmula: y_v = (4ac - b²) / (4a) = (4 * 1 * 6 - (-7)²) / (4 * 1) = (24 - 49) / 4 = -25 / 4 = -6.25

Vértice: (3.5, -6.25)

Bosquejo de la Gráfica

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Funciones exponenciales tienen la forma F(x) = a^x, donde a > 0 y a ≠ 1.

Ejemplos: (A) F(x) = (1/2)^x, (B) F(x) = 2^x.

Para graficar F(x) = 2^x, se construye una tabla de valores:

Ecuaciones Exponenciales

Para resolver ecuaciones exponenciales, sigue estos pasos:

1. (A) Si las bases son iguales (a^f(x) = a^g(x)), se igualan los exponentes (f(x) = g(x)) y se despeja X.
2. (B) Si las bases son distintas pero pueden igualarse (ej. 4^x = 8 -> (2²)^x = 2³ -> 2^2x = 2³), se igualan las bases y se aplica el paso (A).
3. (C) Si no es posible igualar las bases, se aplican logaritmos a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos de Ecuaciones Exponenciales

(1) 2^x+3 * 2^x = 2^6x-5

2^(x+3)+x = 2^6x-5

2^2x+3 = 2^6x-5

Igualando exponentes:

2x + 3 = 6x - 5

3 + 5 = 6x - 2x

8 = 4x

x = 8 / 4

x = 2

(2) 3^-x * 27^x+2 = (1/3)^x / 81^x+6

Convirtiendo a base 3:

3^-x * (3³)^x+2 = (3⁻¹)^x / (3⁴)^x+6

3^-x * 3^3(x+2) = 3^-x / 3^4(x+6)

3^-x * 3^3x+6 = 3^-x / 3^4x+24

Aplicando propiedades de potencias:

3^{(-x) + (3x+6)} = 3^{(-x) - (4x+24)}

3^2x+6 = 3^{-x - 4x - 24}

3^2x+6 = 3^-5x-24

Igualando exponentes:

2x + 6 = -5x - 24

2x + 5x = -24 - 6

7x = -30

x = -30 / 7