Conceptos Clave en Econometría: Elasticidad, Prueba T y Multicolinealidad

Elasticidad Parcial de Producción

Mide el cambio proporcional en el output (producción) como resultado de un incremento proporcional en el i-ésimo input (factor de producción), manteniendo constantes todos los demás inputs.

Se representa como:

E_i = (∂y / ∂x_i) * (x_i / y)

Donde:

• E_i es la elasticidad parcial del input i.
• y es el output.
• x_i es la cantidad del input i.
• ∂y / ∂x_i es la derivada parcial del output respecto al input i (producto marginal del input i).

Generalmente, se espera que E_i > 0.

Elasticidad Total de Producto (Elasticidad de Escala)

También conocida como elasticidad de escala (E), mide el cambio proporcional en el output como resultado de un incremento unitario proporcional en todos los inputs simultáneamente.

Esta elasticidad se puede representar como la suma de las elasticidades parciales de producción:

E = E₁ + E₂ + ... + E_n

Indica los rendimientos a escala:

• Constantes: E = 1
• Crecientes: E > 1
• Decrecientes: E < 1

Prueba T (Contraste de Significancia Individual)

En la prueba t estándar se contrasta si los verdaderos parámetros del modelo (β_i de la función de regresión poblacional) son iguales a cero. Por lo que se propone la siguiente hipótesis a probar:

• H₀: β_i = 0 (Hipótesis nula: el parámetro no es estadísticamente significativo, la variable asociada no influye en la variable dependiente).
• H_a: β_i ≠ 0 (Hipótesis alternativa: el parámetro es estadísticamente significativo).

Considerando la hipótesis nula (H₀), el contraste se realiza calculando el estadístico t (t-ratio):

t_calculado = (Estimador de β_i - 0) / Error estándar del estimador de β_i

Se trata de analizar si el valor absoluto del t_calculado es mayor que un cierto valor crítico de la distribución t (t_crítico) para un nivel de significancia dado (por ejemplo, 5%) y los grados de libertad correspondientes.

Ejemplo: Si un t_calculado es 5.123 con 91 grados de libertad y se utiliza un nivel de error del 5%, se compara |5.123| con el t_crítico. Si |t_calculado| > t_crítico, se rechaza la hipótesis nula (H₀).

Si se rechaza H₀, se puede plantear que los parámetros son diferentes de cero y, por lo tanto, concluir que son estadísticamente significativos.

Multicolinealidad

La multicolinealidad se refiere a la existencia de una fuerte relación lineal entre dos o más variables explicativas (independientes) en un modelo econométrico.

• Multicolinealidad Exacta: La combinación lineal entre las variables es perfecta.
• Multicolinealidad Aproximada (o Estructural): La combinación lineal es elevada pero no perfecta. Es la forma más común en la práctica.

En el caso de multicolinealidad exacta, los parámetros del modelo (coeficientes β) no se pueden calcular mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), dado que la matriz (X'X) no sería de rango pleno y no tendría inversa.

Relación con los Supuestos de Gauss-Markov

Uno de los supuestos del modelo lineal clásico (necesario para que los estimadores MCO sean los Mejores Estimadores Lineales Insesgados - MELI) es la ausencia de multicolinealidad exacta entre las variables explicativas.

Cuando no se cumple con este supuesto (es decir, hay multicolinealidad, especialmente si es fuerte o aproximada), surgen problemas:

Implicancias de la Multicolinealidad (Aproximada)

• Aunque los estimadores MCO continúan siendo insesgados y consistentes, dejan de ser eficientes (no tienen la mínima varianza).
• Se incrementa la varianza (y por tanto el error estándar) de los parámetros estimados.
• Esto supone unos valores del estadístico t más reducidos, lo que lleva a una mayor probabilidad de no rechazar la hipótesis nula (H₀: β_i = 0) cuando es falsa (Error Tipo II). Es decir, podemos concluir incorrectamente que una variable no es significativa.
• En general, los parámetros estimados se vuelven más inestables y sensibles a pequeños cambios en los datos o en la especificación del modelo (incorporación o eliminación de variables explicativas).

Detección de la Multicolinealidad

La forma más simple es por observación de los estadísticos del modelo:

• Un R² (coeficiente de determinación) y un estadístico F (significancia conjunta del modelo) muy elevados.
• Y, por el contrario, pocos o ningún estadístico t individualmente significativo.

Este es un síntoma clásico de fuerte multicolinealidad. Existen otras pruebas más formales como el Factor de Inflación de la Varianza (FIV).