Conceptos clave de álgebra lineal: Algoritmos, ecuaciones y matrices

Algoritmo de Euclides y ecuaciones diofánticas

Para obtener los valores de µ y λ, se utiliza el algoritmo de Euclides extendido. Cuando la división es exacta, el algoritmo termina.

En las ecuaciones diofánticas, se multiplica la identidad de Bézout por el número de la solución particular (x_p, y_p) = (λ, µ). La ecuación diofántica homogénea asociada, si el mcd(a, b) = 1, es ax - by = 0. Su solución general es (x_h, y_h) = (bt, -at) con t ∈ Z.

Por el método lineal, la solución general es el conjunto de las otras dos con t ∈ Z.

Congruencias

En congruencias, por ejemplo, 9X ≡ 7 (mod 10), se busca el valor que hace que X sea igual a 1. En este caso, se busca 9^-1 y se despeja X. La solución final se expresa como x = c + vt, con t ∈ Z.

Unidades y función φ de Euler

Para encontrar las unidades distintas en x, se evalúa la función φ de Euler en x. Se factoriza y se resta uno a los exponentes. El resto de dividir x/c se obtiene calculando el módulo entre los dos. Si el resultado es 1, se calcula x^φ(c) y se iguala al exponente dado. Si no es 1, el número resultante será congruente con 1 módulo el valor del módulo inicial.

Polinomios y factorización

Si se pide calcular el MCD de polinomios, se utiliza el algoritmo de Euclides extendido. El último resto se multiplica por su inverso, y se obtienen µ y λ.

Los divisores k se obtienen multiplicando por los valores de Z. Por ejemplo, si Z = 3, entonces k puede ser 1 o 2, y se multiplica k * 2 * 2.

Los polinomios mónicos son aquellos donde k = 1. El anillo x debe ser un cuerpo, y p(x) debe ser irreducible. Para hallar la factorización de un polinomio, se utiliza la regla de Ruffini. Si la raíz es negativa, se realizan cálculos adicionales. Si se obtiene un polinomio y se pregunta si es una unidad, el MCD de los dos polinomios debe ser 1.

Método de Hermite

El método de Hermite (a | ID) es inversible si el rango de a es máximo. Calcular la forma normal de Hermite implica realizar operaciones de Gauss en la matriz a. Existe una matriz P tal que P * a = h. Se realizan las mismas operaciones en la matriz identidad.

Coordenadas y cambio de base

Para calcular coordenadas, se utiliza la matriz de cambio de base (Id_b'b). Se suele utilizar la otra coordenada (0, 1) u otro elemento que tenga coordenadas (x, x), y se sustituye en la base b indicada.

Base y subespacios vectoriales

Para encontrar la base de un subespacio U, si se tienen los vectores, se colocan en forma de matriz y se aplica el método de Gauss. Si no, se obtienen las ecuaciones paramétricas, se construye la matriz a partir del sistema, se reduce y, si hay x grados de libertad, los valores que se repiten se denominan alfa o beta, se igualan las otras dos variables y se obtienen los vectores.

Para obtener un sistema de generadores de U + W, se juntan las bases. Para calcular la base de U ∩ W, se establecen las ecuaciones implícitas de U y W, se juntan, se forma la matriz y se procede como para obtener la base con ecuaciones paramétricas. La dimensión de U + W es la suma de las dimensiones de U y W menos la dimensión de U ∩ W.

Para obtener el sistema de ecuaciones implícitas, se calculan r y r*. Si tienen columnas intercambiadas, se calculan h y h*, donde h = (-a^t | ID). El sistema de ecuaciones se obtiene de h.

Para calcular un subespacio vectorial complementario de U, se añaden a la matriz base de U vectores que completen la identidad.

Matriz asociada a una transformación lineal

La matriz asociada a f respecto a las bases canónicas se obtiene sustituyendo las bases canónicas una en otra, y los resultados forman las columnas. La base de Im(f) se obtiene colocando las bases canónicas a los lados y las columnas anteriores como filas. El resultado es de la forma x³ + x² + x...

Isomorfismos

Una transformación lineal es un isomorfismo si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez. No es sobreyectiva si la dimensión de Im(f) es distinta de la dimensión de Z₅[x]_x.

Polinomio característico, autovalores y diagonalización

El polinomio característico es p_a(x) = |a - xID|. Al multiplicar lo de dentro por -x, esos valores son los resultados. Los autovalores de a son los números que aparecen en el polinomio característico, y la multiplicidad es la cantidad de veces que aparecen.

Para que una matriz sea diagonalizable, la suma de las multiplicidades debe ser igual al orden de la matriz. Además, para cada autovalor de a, deben existir tantos autovectores linealmente independientes como su multiplicidad. Se calcula (A - xID) y se procede como con las ecuaciones paramétricas. Si hay tantos autovectores como la multiplicidad, entonces la matriz es diagonalizable.