Conceptos Básicos de Relaciones y Funciones Matemáticas

Conceptos Básicos de Relaciones y Funciones

Producto Cartesiano

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Se define la operación producto cartesiano de los conjuntos A y B, que se denota por AXB, al conjunto de pares ordenados formados del siguiente modo:

AXB = { ( a , b ) / a ∈ A ∧ b ∈ B }

Relación

Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto del conjunto AXB.

R relación de A en B ⇔ R ⊆ AXB

Observaciones:

• Una relación es un conjunto de pares ordenados.
• Una relación R de AXB se denota: R : A → B
• ( a , b ) ∈ R ⇔ a R b
• ( a , b ) ∉ R ⇔ a R b
• Siendo R: A → B una relación y ( a , b ) ∈ R podemos plantear que:
  • a se denomina preimagen
  • b se denomina imagen de a según la relación R. Lo anotamos: b = R(a)
  • Im(a) es el conjunto de todas las imágenes del elemento a
• Llamaremos dominio de la relación al conjunto de todas las preimágenes. Lo anotamos del siguiente modo:
  D(R) = { a ∈ A / ∃ b ∈ B ∧ ( a , b ) ∈ R } ⊆ A
• Rango o recorrido de la relación será el conjunto de todas las imágenes.
  Rang(R)=Rec(R) ={ b ∈ B / ∃ a ∈ A ∧ (a ,b) ∈ R } ⊆ B
• Una relación se puede graficar usando un sistema cartesiano o un sistema sagital (diagrama de flechas).

Ejemplo: Si T = {1, 2, 3 ,4, n} y E = {A,B,C,D,N} R : T → E / R = {(1,B),(2,C),(3,A),(4,C),(n,D)}

Sistema sagital

Cada relación R : A → B tiene una relación inversa, R^-1: B → A
R^-1 = { ( b , a ) / ( a , b ) ∈ R }

1) Dada la relación R = {(1 , 5) , (5 , 1) , (3 , -2) , (4 , 1)}
Hallar: a) D ( R )
b) Rang (R)
Resolución:

• El dominio de la relación vendrá dado por el conjunto formado por las primeras componentes de cada par ordenado. De este modo:
  D ( R ) = { 1 , 5 , 3 , 4 }
• El rango o recorrido está dado por las segundas componentes de cada par ordenado o cupla. De este modo se tendrá:
  Rang ( R ) = { 5 , 1 , -2 }

Sea R: N → N una relación definida por:
R : {( x, y) / x + 2y - 10 = 0}
Hallar : a) D( R )
b) Rang ( R )
Resolución:
Primero debes escribir la relación R por extensión (nombrando uno por uno todos sus elementos) ¿Cuáles son los primeros pares ordenados que cumplen con la relación dada?
x + 2y - 10 = 0
x = - 2y + 10
Tomaremos el conjunto de los números naturales como incluyendo el cero. De ésta forma tendremos:
Si y = 0 ⇒ x = 10 ⇒ ( 10 , 0 ) ∈ R
y = 1 ⇒ x = 8 ⇒ ( 8 , 1 ) ∈ R
y = 2 ⇒ x = 6 ⇒ ( 6 , 2 ) ∈ R
y = 3 ⇒ x = 4 ⇒ ( 4 , 3 ) ∈ R
y = 4 ⇒ x = 2 ⇒ ( 2 , 4 ) ∈ R
y = 5 ⇒ x = 0 ⇒ ( 0 , 5 ) ∈ R
y = 6 ⇒ x = - 2 que no es natural ⇒ ( -2 , 6 ) ∉ R
En definitiva:
R = {( 10 , 0) , (8 , 1) , (6 , 2) , (4 , 3) , (2 , 4) , (0 , 5)}
Luego podemos establecer que:

• D ( R ) = { 10 , 8 , 6 , 4 , 2 , 0 }
• Rang( R ) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

4) Determine la relación inversa R^-1 dada la relación R

a) R = {(1 , 2),(1 , 3),(1 ,4),(2 ,1),(2 , 2),(2 , 3)}

b) R = {(a , b), (a , c) , (a , a)}

c) R = {(1 , 1),(2 , 2),(3 , 3),(4 ,4),(3 ,5),(5 ,3)}

Resolución del problema 4:

a) R^-1 = {(2,1) , (3,1) , (4,1) , (1,2) , (2,2) , (3,2)}

b) R^-1 = {(b,a) , (c,a) , (a,a)}

c) R^-1 = R

Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del autor y la tradición, el conjunto de los números naturales puede presentarse de dos maneras distintas:
N = { 1 , 2 , 3 , 4…}
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 …}
Ambas presentaciones son usadas en distintas áreas de las matemáticas. Históricamente el uso del cero como natural fue introducido en Europa en el siglo XII, pero no se consideraba un natural.
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de los conjuntos en el siglo XIX el cero se incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales.
Esta convención prevalece en dicha disciplina y otras como la teoría de la computación.
Sin embargo en la actualidad ambos convenios conviven.

Funciones

Definición

Dada una relación F: A → B, ésta relación es función si y solo si, cada elemento de A tiene una imagen única en B.
F: A → B es función ⇔ ∀ a ∈ A, ∃! b ∈ B / (a,b) ∈ F

• En un gráfico sagital, una relación es función si de todos los elementos del primer conjunto sale una sola flecha.
• En un gráfico cartesiano una relación es función si al trazar cualquier paralela al eje Oy, ésta corta al gráfico en un solo punto.

Cualquier recta como la que se indica, corta la gráfica en un solo punto; por consiguiente es función.

3) Dada la función f : R → R definida por:
f(x) = |x| - 1

a) Graficar f(x). Hallar D(f) y Rang(f)

b) Determinar f(-3) , f(6) y f(2)

c) Determinar x si f(x) = 1

Resolución del ejercicio 3:

a) Para graficar una función que involucra por lo menos un valor absoluto, hay que trabajar por zonas.

Para determinar en cuántas y cuales zonas se divide el eje real debemos empezar por aplicar la definición al único valor absoluto existente.

Recordando que el dominio se lee en el eje Ox tendremos:
D(f) = R
Recordando que el rango o recorrido se lee en el eje Oy:
Rang(x) = { - 1 , + ∞ )

Nuevamente me deshago del valor absoluto trabajando por zonas. Las zonas de trabajo son las que ya se determinaron en la parte a.

Función Inversa

Función Inyectiva o Uno a Uno

Una función f: A → B se dice inyectiva o uno a uno si y solo si, elementos distintos del dominio A, tienen imágenes distintas en B.

NOTA:
Una estrategia rápida, conocida como prueba de la recta vertical, permite determinar si una función es uno a uno o inyectiva. La prueba establece lo siguiente: Una función es uno a uno si y solo si ninguna recta horizontal corta a la gráfica más de una vez.

Función Sobreyectiva

Una función f: A → B se dice sobreyectiva o epiyectiva si y solo si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.
f : A → B es sobreyectiva ⇔ Rang(f) = B

Función Biyectiva

Una función f : A → B se dice biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Función Inversa

Sea f una función uno a uno, con dominio A y rango B. Entonces su función inversa, f^-1, tiene dominio B y rango A y se define del siguiente modo:
f^-1(y) = x ⇔ f (x) = y para cualquier y en B
Si pensamos en f como en una máquina tendríamos que si x alimenta f para producir f(x), y luego ésta alimenta la máquina f^-1 para producir x, entonces f^-1 deshace lo hecho por f.

Importante: D(f^-1) = Rec (f)
Rec( f^-1) = D(f)
Nota práctica:
Se obtiene la gráfica de f^-1 al reflejar la gráfica de f(x) respecto a la recta y = x

Suma, Resta, Producto y Cociente de Funciones

Sean f y g funciones con dominios A y B respectivamente, entonces la suma : f + g ; la resta : f - g y el producto f.g son funciones con dominio A ∩ B.
De este modo:
( f + g ) (x) = f (x) + g (x) Suma
( f - g ) (x) = f(x) - g(x) Resta
( f.g ) (x) = f (x) . g (x) Producto

El cociente , f/g tiene como dominio A ∩ B excluyendo a todos los valores de x que anulen el denominador (g(x) ≠ 0).

( f/g ) (x) = f(x) / g(x) Cociente para todo x / g(x) ≠ 0

Composición de Funciones

Otra forma de construer una función a partir de otras es a través de un proceso conocido como composición de funciones.
Sean f y g dos funciones. Partamos de un número x, perteneciente al dominio de g y calculemos g(x). Si éste número g(x) pertenece luego al dominio de f entonces

podemos calcular el valor de f[g(x)]. El resultado es una nueva función h(x) = f[g(x)] obtenida al sustituir g en f. Este proceso se conoce con el nombre de composición de f y g y se denota con el símbolo : (fog)(x) = f[g(x)]
El dominio de fog es el conjunto de todos los x en dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f(x). En otras palabras, (fog)(x) está definida siempre que g(x) y f[g(x)] lo están.
Una forma interesante de representar la composición de funciones es con un diagrama de máquinas o un diagrama de flechas.

NOTA: La conmutatividad en la composición de funciones no es válida
La composición de una función con su inversa da la función idéntica.
(f o f^-1)(x) = I(x)
(f^-1 o f )(x) = I(x)

Volvamos al Dominio de una Función

El dominio de una función vendrá dado por los valores de la variable independiente para los cuales la función existe.
Las funciones que presentan problema de existencia son de tres tipos:

A) Las que tienen un denominador:

Aquellos valores de la variable independiente, que anulan un denominador serán puntos de no existencia pues no existe la división por cero.

B) Los que tienen un logaritmo:

log_b A
1) A > 0
2) b > 0
3) b ≠ 1

NOTA:
El dominio de una función, cuando se tiene la representación gráfica de la misma, se lee sobre el eje 0x.
El rango de una función por el contrario se lee sobre el eje Oy
Hay dos tipos de dominio:

1) Dominio explícito: es el que se define expresamente para una función

2) Dominio implícito: es el que depende de la forma o expresión analítica de la función.

Ejemplo
Sea f(x) = 3x/x+1 definida en el intervalo [ 2 , 4 ]. Especificar el dominio explícito y el implícito de la función.
Resolución:
Dominio explícito: { x ∈ R / x ∈ [ 2 , 4 ] }

Dominio implícito: { x ∈ R / x ≠ - 1 }

Paridad e Imparidad

• Si f(x) = f(- x) decimos que la función es PAR, es decir, simétrica con respecto al eje Oy.
• Si f(x) = - f(- x) decimos que la función es IMPAR, es decir , simétrica con respecto al origen de coordenadas.

Funciones Partidas

Son aquellas funciones que no responden a una sola fórmula sino que, según la zona donde estemos trabajando responden a un modelo matemático determinado.

Nota:
Las funciones signo o aquellas funciones que involucran por lo menos una función signo en su expresión, son un ejemplo de función partida.

Transformaciones de Funciones

Muchas veces, a partir del gráfico de una función sencilla, es posible encontrar el gráfico de una función más compleja, por simples transformaciones de la función de partida.
A las funciones elementales que se toman como punto de inicio suele llamárseles funciones madres.
He aquí, en las siguientes tablas algunas de éstas transformaciones.

Desplazamientos Verticales y Horizontales

Supongamos que c > 0
Para obtener la gráfica de:

• y = f(x) + c se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia ARRIBA.
• y = f(x) - c se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia ABAJO.
• y = f( x - c ) se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia la DERECHA.
• y = f( x + c ) se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia la IZQUIERDA.

Alargamientos y Reflexiones Verticales y Horizontales

Supóngase que c > 1
Para obtener la gráfica de:

• y = c.f(x) alárguese la gráfica de y = f(x) VERTICALMENTE en un factor de c.
• y = 1/c. f(x) comprímase la gráfica de y = f(x) VERTICALMENTE en un factor de c.
• y = f( c.x ) comprímase la gráfica de y = f(x) HORIZONTALMENTE en un factor de c.
• y = f (x/c ) alárguese la gráfica de y = f(x) HORIZONTALMENTE en un factor de c.
• y = - f(x), refléjese la gráfica de y = f(x) respecto al eje Ox.
• y = f (- x ), refléjese la gráfica de y = f(x) respecto al eje Oy.