Conceptos Básicos de Probabilidad: Tipos de Sucesos y Teoremas

PROBABILIDAD

Cuando realizamos un experimento en idénticas condiciones puede ocurrir, o bien que obtengamos todos los resultados iguales, y entonces se denomina determinista (ejemplo: una moneda trucada y que siempre salga cara), u otra opción es que el experimento en idénticas condiciones nos dé resultados distintos, entonces se denomina aleatorio.

Estos resultados tienen una frecuencia de presentación, de modo que cuando hemos repetido un número muy elevado de veces, al final los posibles resultados tienden a estabilizarse.

Cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio, los cuales a la vez no se pueden descomponer en otros más simples, se denomina suceso elemental (cara o cruz), y el conjunto de todos los sucesos elementales (resultados individuales) es el espacio muestral.

También puede haber sucesos no elementales o compuestos. El suceso seguro es el que ocurre siempre, el suceso imposible no sucede nunca y es complementario del suceso seguro.

Suceso es todo subconjunto del espacio muestral. Los sucesos pueden ser de distintos tipos y podemos realizar operaciones de unión, complementación y también la intersección.

TIPOS DE SUCESOS

1. Sucesos idénticos: dos sucesos son idénticos cuando para cada resultado del experimento, o bien ocurren los dos o no sucede ninguno (ejemplo: sacar par o sacar múltiplo de dos).
2. Suceso opuesto o complementario: la no realización de un suceso A es también un suceso A’ y lo llamaremos suceso opuesto de A (es decir, tiene los elementos no incluidos en A).
3. Suceso producto o intersección: un suceso C que tiene lugar cuando han ocurrido otros dos, A y B, es decir, es producto de los otros dos (la intersección de A y B es el conjunto que tiene elementos comunes de A y B).
4. Suceso suma: el suceso C tiene lugar cuando al menos tiene lugar uno de los dos (suceso suma de los dos) (A unión B) (C tiene todos los elementos de A y B, no solo los comunes como en el caso anterior).
5. Suceso diferencia: el suceso C tiene lugar cuando ocurre A, pero no B, y se llama diferencia entre A y B. También puede ponerse A-B = AxBC (la diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene todos los elementos de A que no pertenecen a B).
6. Suceso contenido: si del hecho de que ocurra B se deduce que ocurra A.
7. Suceso compatible: dos sucesos son compatibles cuando pueden ocurrir a la vez.
8. Suceso incompatible: cuando no pueden ocurrir a la vez.
9. Suceso dependiente: dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno depende de la ocurrencia de otro.
10. Suceso independiente: si la ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia de otro.

OPERACIONES

1. Unión: la unión entre dos sucesos A y B es el suceso formado por todos los elementos simples en A o en B. En sucesos compatibles, la unión de A y B es igual a A+B menos la intersección de A y B. Y cuando son incompatibles, la unión de A y B es la suma de A más B.
2. Intersección: la intersección entre los sucesos A y B es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. En los compatibles, la intersección de A y B es igual al producto de A y B, y en los incompatibles no hay intersección. Se denomina suceso producto.
3. Complementación: el complemento de un suceso A está formado por todos los elementos simples que no están en A (A’, Ac). Se denomina suceso opuesto.

PROPIEDADES

1. Asociativa: cuando se suman 3 o más números independientes, el resultado es el mismo independientemente de cómo se agrupan, y cuando se multiplican ocurre lo mismo.
2. Conmutativa: el orden de los sumandos o factores no altera el resultado final de la suma o producto.
3. Idempotente: aunque una acción se realice muchas veces, el resultado es el mismo que si se realizara una sola.
4. Simplificativa o de absorción: la unión y la intersección de dos conjuntos satisface para todo A las igualdades….
5. Distributiva: se obtiene la misma respuesta cuando se multiplica un conjunto de números por otro que cuando se hace cada multiplicación por separado.

LEYES DE MORGAN

El complementario de A unión de A y B (parte gris) coincide con la intersección de los complementarios A y B.

El complementario de la intersección de A y B es igual a la unión de no B y no A.

RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS (E)

Los sucesos elementales de un experimento forman el sistema completo de sucesos.

La unión de los elementos simples o elementales forman E, y la intersección de todos ellos es imposible, y por tanto el resultado es el conjunto vacío.

También se les denomina a los sucesos elementales átomos del álgebra.

ÁLGEBRA DE SUCESOS (A)

Será una clase de sucesos A, de parte del espacio muestral E que se denomina álgebra de sucesos (intervienen tanto sucesos elementales como sucesos compuestos), así deben verificar que contienen el suceso imposible, para todo el A el complementario u opuesto también pertenece a este álgebra. Y para todo A y B del álgebra de sucesos, estas dentro de este álgebra (suma de los sucesos elementales).

SUCESOS OBSERVABLES

Los sucesos que forman el álgebra de sucesos se denominan sucesos observables. El número de sucesos observables de un álgebra de sucesos estará en función del número de átomos del álgebra.

El número tal de sucesos observables es igual a 2ⁿ, siendo n el número de sucesos elementales.

Así tenemos un espacio muestral E y cuando ya tenemos todo el álgebra de sucesos A, entonces como ya tenemos definida el álgebra de sucesos, entonces ya tenemos el espacio medible (EA).

IDEAS INTUITIVAS SOBRE PROBABILIDAD

Frecuencia absoluta: es el número de veces (n) que aparece un suceso al realizar N veces un experimento.

Frecuencia relativa: n/N

Propiedades de las frecuencias

1. Por ser n mayor o igual que cero y N (número de veces que se repite la experiencia), entonces la frecuencia relativa valdrá entre 0 y 1.
2. Si dos sucesos A y B son incompatibles, la frecuencia n del suceso A unión B es la frecuencia n’ de A y la frecuencia de n’’ B.
3. La frecuencia del espacio muestral sería la unidad.
4. La frecuencia relativa del suceso tiende a estabilizarse cuando el número de veces que se repite el experimento tiende a infinito (por ejemplo: 50% cara y 50% cruz, aunque si solo lanzara diez veces podría salir 80% cara y 20% cruz). Esto se llama ley de regularidad de las series estadísticas o del azar.

DEFINICIONES DE PROBABILIDAD

La clásica (Laplace): la probabilidad es el cociente entre el nº de casos favorables al suceso considerado y el nº de casos posibles.

El concepto axiomático: la probabilidad es una medida de incertidumbre y sus propiedades corresponden a las de las frecuencias.

Empírica: que hace alusión a la ley del azar y afirma que en una serie larga de realizaciones de una experiencia, la frecuencia relativa observada de un suceso se aproxima a su probabilidad.

ESPACIO PROBABILÍSTICO

Se denomina modelo de probabilidad de Kolmogorov y cumple con una serie de axiomas:

1. Para todo suceso perteneciente al álgebra tiene una probabilidad mayor o igual a cero.
2. Si todos los sucesos son incompatibles, entonces las intersecciones es el conjunto vacío. Por tanto, si son incompatibles, la unión de todos los sucesos es igual a la suma de todas las probabilidades, por lo que la unión de todas estas será igual a la suma de las probabilidades.
3. La probabilidad del suceso seguro es 1.

El suceso 15 es el espacio muestral y el 16 es el opuesto, es decir, el complementario del espacio muestral.

Estos axiomas tienen unas consecuencias:

1. El suceso opuesto o complementario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso.
2. La suma de la probabilidad de un suceso y su opuesto entonces es igual a uno.
3. La probabilidad del suceso imposible es cero.
4. Para todo suceso, su probabilidad es menor o igual a uno, ya que todo suceso que pertenece a E, entonces la probabilidad del suceso no puede ser mayor que la de E o espacio muestral.
5. Si los dos sucesos son compatibles, la probabilidad de A unión B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la intersección de A con B.
6. La probabilidad de A unión B es menor o igual a la probabilidad de A y la de B.

Otra definición de probabilidad: la probabilidad es una medida personal de la incertidumbre de un suceso basada en aquellas experiencias previas, que con la información disponible se consideran indistinguibles e intercambiables que definen el grado de información. Así introducimos el concepto de probabilidad condicionada que va a tener un espacio de sucesos E un álgebra de partes de D (A).

PROBABILIDAD CONDICIONADA

La probabilidad de un suceso A condicionada a que se ha producido un suceso B es igual a la probabilidad de la intersección de A y B partido por la probabilidad de B. Si fuera la probabilidad de B condicionada a A, entonces sería lo mismo, pero en el denominador la probabilidad de A.

También es un modelo de probabilidad de Kolmogorov y, por tanto, sigue unos axiomas:

1. La probabilidad de A es mayor que cero, la de B también y la intersección de ambas lo mismo.
2. La probabilidad de E condicionada a B es igual a uno ya que como B está dentro de E, entonces queda probabilidad de B partido de B.
3. Si desde A1 hasta An es incompatible, la probabilidad es cero, y esto es igual a la suma de todas las probabilidades condicionadas.

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

En este caso, vamos a tener un sistema completo de sucesos (todo el conjunto de elementos que formaban el espacio muestral), son disjuntos y, por otro lado, tenemos otro suceso cualquiera que se produce y que realiza intersecciones con los otros casos.

Así se halla la probabilidad de ese otro suceso con las intersecciones con el sistema completo de sucesos, por tanto, se calcula como: (cuadrado azul).

TEOREMA DE BAYES

Teorema de probabilidad de las causas, lo que hacemos es tomar una información y resolvemos la probabilidad de que padezca una determinada característica al presentar unas características determinadas. Es decir, probabilidad de A en presencia de B.

Teorema de Bayes y diagnóstico

Bayes resuelve la pregunta de cuál es la probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad condicionado a la presencia de un determinado síntoma.

En este caso, la probabilidad a priori (P(Ai)) es la proporción de pacientes con el diagnóstico.

Las verosimilitudes (P(B/Ai)) es la probabilidad de que un paciente presente un síntoma o conjunto de síntomas suponiendo que tenga el diagnóstico Ai.

P(Ai/B) es la probabilidad a posteriori, que es la probabilidad de un determinado diagnóstico ya que presenta un determinado síntoma B.

Teorema de Bayes y pruebas diagnósticas

¿Cuál es la probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad condicionado a un determinado resultado del test?

P(Ai) es la probabilidad de estar enfermo o prevalencia de la enfermedad y la de estar sano.

P(B/Ai) las verosimilitudes son 4: test positivo condicionado a estar enfermo (sensibilidad), test positivo condicionado a estar sano (falso positivo), test negativo condicionado a estar enfermo (falso negativo) y test negativo condicionado a estar sano (especificidad).

El índice de Youden, podemos relacionar las sensibilidad y la especificidad, (J= sensibilidad + especificidad -1) si el valor es mayor que 0 es útil la prueba diagnóstica y cuanto más mayor mejor: es igual a la sensibilidad + especificidad -1.

ESTUDIO DE LOS VALORES PREDICTIVOS

La prevalencia es la probabilidad de que una persona padezca una enfermedad (cociente entre personas que padecen la enfermedad y las personas con riesgo de padecerla).

Ahora los complementarios son las columnas, es decir, ahora tenemos, por ejemplo, enfermo condicionado a valor positivo del test y sano condicionado al valor positivo del test.

Los valores que nos interesan, los valores predictivos positivos (que posea la enfermedad si el test ha sido positivo) y los predictivos negativos (estar sano si el test ha sido negativo).

Sensibilidad con falso negativo y especificidad con falso positivo.