Conceptes Matemàtics: Equacions, Nombres i Més

Conceptes Matemàtics Essencials

Equacions i Identitats

Equació: Igualtat amb nombres i lletres que es compleix només per a alguns valors de les incògnites. Identitat: Igualtat amb nombres i lletres que es compleix sigui quin sigui el valor de les incògnites. Solució d'una equació: Són els valors numèrics de les incògnites que fan que es compleixi la igualtat. Resoldre una equació: Trobar les solucions o adonar-se'n que no en té. Pot tenir una solució (x=0), infinites solucions o cap solució (error matemàtic). Equació de segon grau: Una vegada efectuades les operacions i reduïts els termes semblants, el grau més gran que conté és el grau 2. Discriminant: El seu valor numèric permet determinar el nombre de solucions de l'equació sense resoldre-la.

Tipus de Nombres

• Racionals (Q): Conjunt de les fraccions que compleixen les condicions següents: el numerador i el denominador són nombres enters i el denominador no és 0.
• Naturals (ℕ): Conjunt ordenat que té principi però no té final; són nombres positius i sense decimals.
• Enters (ℤ): Conjunt de nombres ordenats, però no tenen ni principi ni final; són nombres positius, negatius, sense decimals i el neutre (0).
• Irracionals (𝕀): Són els nombres amb infinites xifres decimals no periòdiques (arrels, número π, decimals, negatius...).

Recta Real

En ella estan representats tots els nombres reals. Està ordenada de menor a major, d'esquerra a dreta. És una recta densa (plena de nombres amb infinits nombres sense espai, i cada nombre té el seu punt). El nombre 0 no té signe. Exemple: 148/3 = 49 + 1/3.

Operacions amb Arrels

• Multiplicació i divisió d'arrels: Han de tenir el mateix índex. Es deixa el mateix índex i es multipliquen o divideixen els radicands. Si no tenen el mateix índex, cal fer el mínim comú múltiple. L'arrel enèsima d'un nombre "b" és un altre nombre "a" tal que a elevat a n = b.
• Suma i resta d'arrels: Per poder sumar i restar, han de ser arrels idèntiques d'índex i d'arrel. Se sumen els coeficients i es deixa l'arrel.
• Racionalització: Trobar una altra fracció sense arrels al denominador. Cal multiplicar numerador i denominador per la mateixa expressió.

Polinomis

• Valor numèric: És el nombre que resulta quan substituïm.
• Binomi: La suma de dos monomis de diferent grau.
• Trinomi: La suma de tres monomis de diferent grau.
• Polinomi: Suma/resta de monomis de diferent grau.
• Grau d'un polinomi: Exponent més gran.

Inequacions i Intervals

Inequació: Desigualtat que es compleix per a algun valor de les lletres. Es resolen exactament igual que les equacions, però si es multipliquen o divideixen per un nombre negatiu, canvia el sentit de la desigualtat. Interval: Conjunt de nombres reals compresos entre altres dos extrems, que també són nombres reals.

Funcions

Funció: Relació de dependència entre dues variables (magnituds) de manera que a cada valor de la variable independent li correspon només un valor de la variable dependent. Tipus de funcions:

• Empírica: Els valors són fruit de l'observació i l'experiència.
• Algebraica: Els valors s'obtenen a partir d'una fórmula matemàtica.

Trigonometria

Trigonometria: Part de la geometria que es dedica a mesurar els elements d'un triangle. Sexagesimal: És l'angle obtingut en dividir l'angle recte en 90 parts iguals. Radiant: Unitat per mesurar angles. Raons trigonomètriques d'un angle agut:

• Sinus: D'un angle agut en un triangle rectangle és el quocient entre el catet oposat de l'angle i la hipotenusa.
• Cosinus: D'un angle agut en un triangle rectangle és el quocient entre el costat contigu a l'angle i la hipotenusa.
• Tangent: D'un angle agut en un triangle rectangle és el quocient entre el costat oposat de l'angle i el catet contigu a l'angle.

Logaritmes

Logaritme: És un exponent al qual cal elevar la base perquè doni el nombre que estem buscant.