Combinación Lineal de Vectores: Un Ejemplo Detallado
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¿Es el vector a= (-4, 0, 2) una combinación lineal de los vectores b= (3, -1, 5), c= (6, 2, 4), d= (5, 3, 3)?
- α = Alfa
a = α1b + α2c + α3d
a = α1 (3, -1, 5) + α2 (6, 2, 4) + α3 (5, 3, 3)
(-4, 0, 2) = (3α1, -α1, 5α1) + (6α2, 2α2, 4α2) + (5α3, 3α3, 3α3)
Sistema de Ecuaciones Lineales
1) -4 = 3α1 + 6α2 + 5α3
2) 0 = -α1 + 2α2 + 3α3
3) 2 = 5α1 + 4α2 + 3α3
Resolución del Sistema
1) 3α1 + 6α2 + 5α3 = -4
2) -α1 + 2α2 + 3α3 = 0 -> x3
3α1 + 6α2 + 5α3 = -4
-3α1 + 6α2 + 9α3 = 0
12α2 + 14α3 = -4
2) -α1 + 2α2 + 3α3 = 0 -> x5
3) 5α1 + 4α2 + 3α3 = 2
-5α1 + 10α2 + 15α3 = 0
5α1 + 4α2 + 3α3 = 2
14α2 + 18α3 = 2
A) 12α2 + 14α3 = -4
B) 14α2 + 18α3 = 2
Despejamos α2 de A
12α2 + 14α3 = -4
12α2 = -4 - 14α3 -> α2 = -4 - 14α3 = -4 - 14α3 = -1 - 7α3
12 12 12 3 6
Sustituimos α2 en B
14 (-1 - 7α3) + 18α3 = 2
3 6
-14 - 98α3 + 18α3 = 2
3 6
-14 - 10α3 = 2 -> 10α3 = 2 + 14
3 6 6 3
30
3
10α3 = 6+4 -> 10α3 = 20 -> α3 = 10 = 120 = 4
6 3 6 3 6 30
α3 = 4
Sustituimos α3 en A
α2 = -1 - 7α3 -> α2 = -1 - 7(4) = -1 - 28 = -6 - 84
3 6 3 6 3 6 18
α2 = -90 = -5
18
Sustituimos α2 y α3 en 2
-α1 + 2α2 + 3α3 = 0 -> α1 = 2α2 + 3α3 = 2(-5) + 3(4) = -10 + 12 = 2
Conclusión
a = 2b – 5c + 4d
Otro Ejemplo con Matrices
100x + 50y + 15z = 2075 -> mañana
50x + 100y + 100z = 2250 -> tarde
150x + 100y + 500z = 5750 -> noche
100 50 15 2075
M = 50 100 100 2250
150 100 500 5750
f2 -> f2
50
100 50 15 2075
M = 1 2 2 45
150 100 500 5750
100f2 -> 100 200 200 4500
-f1 -> -100 -50 -15 -2075
0 150 185 2425 -> f1
0 150 185 2425
M = 1 2 2 45
150 100 500 5750
-150f2 -> 150 300 300 6750
-f3 -> -150 -100 -500 -5750
0 200 -200 1000 -> f3
0 150 185 2425
M = 1 2 2 45
0 200 -200 1000
1 2 2 45
M = 0 150 185 2425
0 200 -200 1000
f3 -> f3
200
1 2 2 45
M = 0 150 185 2425
0 1 -1 5
-150f3 -> 0 -150 150 -750
+f2 -> 0 150 185 2425
0 0 335 1675 -> f2
1 2 2 45
M = 0 0 335 1675 f2 -> f3
0 1 -1 5
1 2 2 45
M = 0 1 -1 5
0 0 335 1675
f3 -> f3
335
1 2 2 45
M = 0 1 -1 5
0 0 1 5
f2 -> 0 1 -1 5
+f3 -> 0 0 1 5
0 1 2 10 -> f2
1 2 2 45
M = 0 1 0 10
0 0 1 5
-2f2 -> 0 -2 0 -20
+f1 -> 1 2 2 45
1 0 2 25
-2f3 -> 0 0 -2 -10
+f1 -> 1 0 2 25
1 0 0 15
1 0 0 15
M = 0 1 0 10
0 0 1 15
x = 15
y = 10
z = 5
Sillas Altas = 15
Bancos = 10
Gradas = 5
100(15) + 50(10) + 15(5) = 2075
50(15) + 100(10) + 100(5) = 2250
150(15) + 100(10) +500(5) = 5750
1500 + 500 + 75 = 2075
750 + 1000 + 500 = 2250
2250 + 1000 +2500 = 5750