Circunferencias Tangentes: Guía Completa con Ejercicios Resueltos

A) Circunferencias que pasan por 2 puntos y son tangentes a una recta.

1. Trazamos la recta "e.r." que une los dos puntos dados. Esta será el eje radical de ambas circunferencias solución. El punto de corte "0" del eje radical con la recta dada será el punto medio del segmento tangente común a las dos circunferencias.
2. Trazamos la recta "r.c." que será la recta donde se encuentren los centros de las circunferencias solución.
3. Trazamos una circunferencia auxiliar de centro "03" situado en cualquier punto de la recta de centros; tenemos que hacer pasar dicha circunferencia por los dos puntos dados. Al pasar por los puntos dados implica que la recta "e.r." será también eje radical de dicha circunferencia.
4. Desde el punto "0" trazamos la tangente a la circunferencia de centro 03, y el valor de tangente que nos da será el mismo que, para dicho punto 0, nos tiene que dar para las circunferencias solución. Luego llevamos el valor de la tangente sobre la recta dada y nos dará los puntos de tangencia (T1-T2) en dicha recta, de las circunferencias solución.
5. Trazando la perpendicular a la recta dada por los puntos de tangencia (T1-T2) y donde éstas corten a la recta de centros nos da los centros de las circunferencias solución (01-02).

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR 1 PUNTO Y SON TANGENTES A 2 RECTAS

Mismo procedimiento.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ Y A 2 RECTAS

Hay que hallar la bisectriz de las dos rectas, que pasará a ser la recta de centros de las circunferencias solución.
Tomamos un punto "A" cualquiera situado en la recta de centros. La perpendicular por dicho punto a la r. c. nos da el eje radical. La intersección del eje radical con cualquiera de las dos rectas nos da el punto "0". Trazamos la circunferencia de centro 0 y radio OA y nos da los puntos de tangencia sobre la recta.
Para cada punto A nos darán dos circunferencias tangentes. Hay infinitas soluciones.

D) Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia.

Hay dos planteamientos dependiendo de la posición de los puntos: exteriores o interiores a la circunferencia dada. La solución es la misma.

El planteamiento es igual que el expuesto para el primer caso. El punto "0" en este caso será donde el eje radical que pasa por los puntos dados se corte con el eje radical que existe entre la circunferencia dada y la auxiliar.

Desde el punto "0" trazamos la tangente a la circunferencia auxiliar, llevando luego dicho valor sobre la circunferencia dada para deducir los puntos de tangencia T1-T2. Conociendo los puntos de tangencia y uniéndolos con el centro de la circunferencia nos dará sobre la r. c. los centros de las circunferencias solución.

E) Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia y que pasen por un punto "P".

E1) Que el punto "P" pertenezca a la circunferencia.

La recta que une el centro de la circunferencia con el punto "P" será la recta de centros.
La perpendicular por el punto "P" a la r.c. será el eje radical para todas las circunferencias que quieran ser tangentes a la dada en el punto "P".
La intersección del eje radical con la recta dada nos da el punto "O".
Trazamos la circunferencia de centro "0" y radio OP y hallamos los puntos de tangencia sobre la recta T1-T2.

E2) Que el punto "P" pertenezca a la recta.

La recta perpendicular a la recta dada por el punto "P" será la recta de centros. La recta dada será también el eje radical de todas las circunferencias que quieran ser tangentes a la recta dada en el punto "P".
A partir de aquí el planteamiento es igual que el expuesto para el primer caso.
El punto "0" en este caso será donde el eje radical que pasa por los puntos dados se corte con el eje radical que existe entre la circunferencia dada y la auxiliar.
Desde el punto "0" trazamos la tangente a la circunferencia auxiliar, llevando luego dicho valor sobre la circunferencia dada para deducir los puntos de tangencia T1-T2.
Conociendo los puntos de tangencia y uniéndolos con el centro de la circunferencia nos dará sobre la r. c. los centros de las circunferencias solución.

E'2) Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas y que pasen por un punto determinado de una de ellas.

Se resuelve igual que el caso anterior, dado que la recta que une el centro de la circunferencia y el punto dado será la recta de centros y la perpendicular a la misma por el punto será el eje radical.

E3) Que el punto "P" sea exterior a la recta y a la circunferencia.

Pasos previos:

1. Trazamos la recta que pasando por el centro de la circunferencia, sea perpendicular a la recta dada. Deducimos tres puntos A, B, C.
2. Trazamos la circunferencia que pase por el punto dado y por los puntos A y C anteriores.
3. Trazamos la recta que pase por el punto dado y por el punto B. Donde esta recta nos corte a la circunferencia trazada anteriormente nos da un punto P'.

A partir de este momento el ejercicio se resuelve igual que el caso A.

F) Circunferencias tangentes a otras dos.

Hay que hallar el eje radical común para las circunferencias dadas. Para cualquier punto del eje radical podremos hallar los puntos de tangencia en ambas circunferencias. La combinación de cada pareja de puntos de tangencia nos da los centros de las cuatro posibles soluciones.
Para cada punto del eje radical tendremos cuatro circunferencias tangentes.