Círculo Trigonométrico: Características, Razones Trigonométricas y Cuadrantes

Círculo trigonométrico

También conocido como goniométrico, es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.

Carácterísticas

Se toma como base un círculo de radio r = 1 con centro o, en el origen en el plano cartesiano.
Se considera un ánguloarbitrario medido a partir del eje x positivo y en sentido positivo; o sea, en sentido contrario a las manecillas del reloj; todo ángulo puede ser colocado (y de una sola manera) de forma tal que su vértice coincida con el origen de coordenada , uno de sus lados (llamado lado inicial) coincide con la semirrecta OA y el otro lado (llamado lado terminal) quede ubicado ( a partir del inicial) en la zona de barrida en sentido contrario a la manecilla del reloj.

Si la semirrecta r =1 la hacemos rotar en sentido contrario a la manecilla del reloj, describe un círculo dividido en 4 cuadrantes (I, II, III, IV
). Antes de que la semirrecta OP comience a rotar, coincide con el rayo OA, formando un ángulo de0°
. Cuando la semirrecta OP rota, describe un ángulo α, el cual alcanza su máximo (describiendo un círculo completo) a 360° (2π medido en radianes). De esta forma el lado terminal de cada ángulo interseca en un único punto a la [circunferencia] y podemos asociar al ángulo en ese punto de manera unívoca.

Razones trigonométricas

Si se rota la semirrecta OP de radio r rota hasta formar un ángulo α, si proyectamos el punto P hasta el eje X,Y, se obtienen dos segmentos; sobre el ejeY se proyecta el segmento
 OB denominado seno del ángulo α (Seno α
), sobre el eje X se proyecta el segmento OA denominado coseno del ángulo α (cos α
), formando un triángulo rectángulo
 OAP, cuyo lado AP se le denomina cateto opuesto al ángulo α, el lado OA es el cateto adyacente al ángulo α, mientras que el lado OP= r se denomina hipotenusa.
Del triángulo rectángulo anterior podemos denotar las razones trigonométricas siguientes:

• sen α = PA/r
• cos α = OA/r
• tang α = PA/OA
• cot α= OA/PA

Seno del ángulo α

A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho punto y hacia el eje Yse obtiene un segmento OB = AP que se denomina seno del ángulo α (se denota como sen α
), también se determina a través de la razón (PA/r
).

Coseno del ángulo α

A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho punto y hasta el eje Xse obtiene un segmento OA = BP que se denomina coseno del ángulo α (se denota como cos α
), también se determina a través de la razón OA/r
.

Tangente del ángulo α

Si trazamos una semirrecta EC tangente a la circunferencia por el punto E, que toque la semirrecta OD (prolongación de la semirrecta r), se forma el segmento EC que se denomina tangente del ángulo α (se denota como tang α
); también se determina a través de la razón PA/OA
.

Cotangente del ángulo α

Si trazamos una semirrecta FD, tangente al punto F y que toque la semirrecta OD, se forma un segmento FD denominado Cotangente del ángulo α (se denota como cot α
); también se determina a través de la razón OA/PA
.

Cuadrantes del círculo trigonométrico

Si dividimos el círculo trigonométrico en 4 partes iguales se obtiene como resultado que cada [ángulo] consecutivo mide 90° (π/2 rd
), cada una de las partes obtenidas se conoce como cuadrantes del círculo trigonométrico. En cada cuadrante los parámetros seno, coseno, tangente y cotangente cambian su valor numérico con el aumento o disminución del ánguloα, este hecho lo corrobora las razones trigonométricas anteriores.

Primer cuadrante

Parámetro Signo

Seno +

 Coseno + Tangente + Cotangente +

En el primer cuadrante (I)
, con el aumento del [ángulo] α, disminuye el cos α y la cot α, mientras que aumenta la tang α y el sen α, hasta alcanzar su máximo o mínimo valor a 90° (π/2
).

Segundo cuadrante

Parámetro Signo

Seno +

 Coseno - Tangente - Cotangente -

En el segundo cuadrante (II)
, con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, por lo que lo hacen también tang α y cot α, alcanzando su mínimo valor a 180° (π
).

Tercer cuadrante

Parámetro Signo

Seno -

 Coseno - Tangente + Cotangente +

En el tercer cuadrante (III)
, con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, la tang α aumenta su valor, mientras que la cot α disminuye dado que (a partir de que seno y el coseno son negativos y la relación existente entre ellos) hasta alcanzar su mínimo o máximo valor a 270° (3π/2
).

Cuarto cuadrante

Parámetro Signo

Seno -

 Coseno + Tangente - Cotangente -

En el cuarto cuadrante (IV)
, con el aumento del ángulo α, dirminuye el sen α, mientras que aumenta el cos α por lo que aumenta la cot α, mientras que disminuye la tang α y el, hasta alcanzar su máximo y mínimo valor a 360° (2π
).

Véase también

• Teorema de la bisectriz

  
  

• Mediatriz

  
  

• Círculo

  
  

• Circunferencia

Fuente

• LT. Matemática 10mo grado: colectivo de autoras
• dcb.Fi-c.Unam.Mx
• www.Educ.Fc.Ul.Pt