Cálculo de Probabilidades: Teoría y Aplicaciones

Cálculo de Probabilidades

Introducción a la Probabilidad

Experimentos:

• Determinista: Son aquellos en los que podemos predecir el resultado antes de que se realice.
• Aleatorio: Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que depende del azar.

Probabilidad: Cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar.

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio (E=cara o cruz).

Suceso: Cualquier subconjunto del espacio muestral; cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

¿Cómo calculamos la probabilidad de este suceso?: Cuando todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir, la probabilidad de un suceso cualquiera A se define como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles (P(A)=número de casos favorables/número de casos posibles).

Tipos de Sucesos

• Elemental: Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
• Compuesto: Es un subconjunto del espacio muestral.
• Seguro: Está formado por todos los posibles resultados, es decir, por el espacio muestral.
• Imposible: No tiene elementos en común con el espacio muestral.
• Compatibles: A y B son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
• Incompatibles: Cuando dos sucesos A y B son independientes, la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.
• Dependiente: A y B son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.
• Contrario A (Ā): Suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A.

Operaciones con Sucesos

• Unión de Sucesos (A∪B): Formado por todos los elementos de A y B; este suceso se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambas.
• Intersección de Sucesos (A∩B): Formado por todos los elementos que son a la vez de A y B; se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
• Diferencia de Sucesos (A-B): Formado por todos los elementos de A y no de B.
• Sucesos Contrarios (Ā = E-A): Suceso contrario o complementario de A, se verifica siempre y cuando no se especifique A.

Axiomas y Propiedades de la Probabilidad

Axioma: Enunciados tan evidentes que se considera que no requieren demostración; constituyen una base para deducir, a partir de ellas, un amplio número de resultados.

• Axioma 1: La probabilidad es positiva y menor o igual que 1, su valor está entre 0 y 1.
• Axioma 2: La probabilidad del suceso seguro es 1 = P(E)=1.
• Axioma 3: Si A y B son incompatibles, no pueden suceder los dos a la vez = A∩B = suceso imposible.

Propiedades:

• Propiedad 1: La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1; la probabilidad del suceso contrario es P(Ā) = 1 - P(A).
• Propiedad 2: La probabilidad del suceso imposible es 0.
• Propiedad 3: La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección = P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
• Propiedad 4: Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual; si A⊂B entonces P(A) ≤ P(B).

Tabla de Contingencias y Regla de Laplace

Tabla de Contingencias: Muestra la probabilidad de que una cosa suceda o no suceda. Es un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento mediante tablas en cuyas celdas figuran probabilidades y en la cual podemos determinar probabilidades conociendo otras.

Regla de Laplace: Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables (equiprobables), entonces, si A es un suceso, la probabilidad es P(A) = número de casos favorables / número de casos posibles.