Cálculo de Probabilidades en Distribuciones Binomiales y Valor Esperado

Problemas de Probabilidad con Distribución Binomial

1 - Alergias en Residentes

Sea X el número de residentes con alergias. La probabilidad de que un residente tenga alergias es p = 0.2. X sigue una distribución binomial X ~ B(13, 0.20), donde n = 13 y p = 0.20. La función de probabilidad es:

P(X = k) = (n / k) * p^k * (1 - p)^n-k, para k = 0, 1, ..., n.

La probabilidad de que al menos cuatro residentes tengan alergias es:

P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + ... + P(X = 13) = 0.1535 + 0.0694 + ... = 0.2526

O también:

P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)) = 0.2526

2 - Cursos de Preparación

(a) Al menos 12 han hecho curso de preparación?

Sea X el número de estudiantes que tomaron cursos de preparación. La probabilidad de que un estudiante tome cursos de preparación es p = 0.75. X sigue una distribución binomial X ~ B(16, 0.75), donde n = 16 y p = 0.75.

La probabilidad de que al menos 12 hayan hecho curso de preparación es:

P(X ≥ 12) = P(X = 12) + P(X = 13) + P(X = 14) + P(X = 15) + P(X = 16) = 0.2252 + 0.2079 + 0.1336 + 0.0535 + 0.0100 = 0.6302

(b) Hasta 13 han tomado cursos de preparación?

Usando la función de distribución de (a):

P(X ≤ 13) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 13) = 0.0000 + ... + 0.2079 = 0.8029

O también:

P(X ≤ 13) = 1 - P(X ≥ 14) = 1 - (P(X = 14) + P(X = 15) + P(X = 16)) = 0.8029

(c) Exactamente 12 han realizado cursos de preparación?

Usando la función de probabilidad de (a):

P(X = 12) = 0.2252

(d) En un grupo de 80 estudiantes, ¿cuál es el número esperado de estudiantes que tomaron cursos de preparación? ¿Y la varianza?

Sea Y el número de estudiantes que tomaron cursos de preparación entre los 80 seleccionados. Y ~ B(80, 0.75).

El número esperado de estudiantes es:

E(Y) = n * p = 80 * 0.75 = 60

La varianza es:

Var(Y) = n * p * (1 - p) = 80 * 0.75 * 0.25 = 15

3 - Probabilidad de Alfabetización en Poblaciones

Sean los eventos:

• D: Las 12 personas seleccionadas de la población A saben leer y escribir.
• E: Las 10 personas seleccionadas de la población B saben leer y escribir.
• F: Al menos una persona en uno de los 22 seleccionados no sabe leer y escribir.

P(F) = 1 - P(F^c) = 1 - P(D ∩ E) = 1 - P(D) * P(E) (eventos independientes)

Cálculo de P(D):

Sea X el número de personas alfabetizadas entre los 12 seleccionados de la población A. X ~ B(12, 0.9).

P(D) = P(X = 12) = (12/12) * 0.9¹² * (1 - 0.9)⁰ = 0.9¹² = 0.2824

Cálculo de P(E):

Sea Y el número de personas alfabetizadas entre los 10 seleccionados de la población B. Y ~ B(10, 0.8).

P(E) = P(Y = 10) = (10/10) * 0.8¹⁰ * (1 - 0.8)⁰ = 0.8¹⁰ = 0.1074

Por lo tanto:

P(F) = 1 - (0.2824 * 0.1074) = 0.9697

Se asume que:

1. Las dos poblaciones son muy grandes.
2. La selección de los individuos de las poblaciones A y B son independientes.

4 - Beneficio por Plántula

Sea L el beneficio producido por plántula.

Los posibles beneficios son:

• L = 2.30 (sin ataque)
• L = 1.80 (ataque y recuperación)
• L = -1.20 (ataque y no recuperación)

El diagrama de árbol muestra las probabilidades:

• P(L = 1.80) = 0.02 * 0.50 = 0.01
• P(L = -1.20) = 0.02 * 0.50 = 0.01
• P(L = 2.30) = 0.98

La distribución de la ganancia variable aleatoria por plántula es:

l | -1.20 | 1.80 | 2.30

P(L = l) | 0.01 | 0.01 | 0.98

(a) ¿Cuál es el beneficio medio por plántula producida?

El beneficio medio por plántula es:

E(L) = -1.20 * 0.01 + 1.80 * 0.01 + 2.30 * 0.98 = 2.26

El beneficio medio por plántula producida es de R$ 2.26.

(b) En una plantación de 10,000 árboles jóvenes, ¿cuál es el beneficio esperado?

10000 * E(L) = 10000 * 2.26 = 22600

El beneficio esperado es de 22,600.00 dólares.

(c) En un lote de 50 plantas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 45 se puedan utilizar?

Sea X el número de plantas utilizables. La probabilidad de que una planta sea utilizable es p = 0.99. X ~ B(50, 0.99).

La probabilidad de que al menos 45 sean utilizables es:

P(X ≥ 45) = P(X = 45) + P(X = 46) + P(X = 47) + P(X = 48) + P(X = 49) + P(X = 50) = 0.0001 + 0.0015 + 0.0122 + 0.0756 + 0.3056 + 0.6050 ≈ 1