Cálculo Diferencial e Integral: Conceptos y Aplicaciones en la Producción

Temas Avanzados en la Teoría de la Producción

Introducción al Cálculo Diferencial e Integral

El cálculo diferencial e integral, conocido como cálculo, es la base del análisis matemático de los fenómenos en movimiento o cambio.

• Cálculo diferencial: Se centra en determinar la derivada de una función.
• Cálculo integral: Se refiere al problema inverso, es decir, determinar la función cuando se conoce su derivada.

El cálculo diferencial e integral constituye un importante método de análisis marginal, el cual se refiere a una relación de cambios, o sea, la variación en el margen. Esto se expresa analíticamente como la primera derivada de una función.

Conceptos Clave

• Costo total: Es una función de la cantidad producida y, a menudo, varía en la medida en que cambia el nivel o volumen de producción.
• Costo Marginal: Es la relación de la variación en el costo total con respecto a la variación en el nivel de producción. Por lo tanto, el costo marginal es la primera derivada del costo total.
• Función o igualdad matemática: Muestra una variable dependiente y una variable independiente, y puede presentar una o más constantes.

Una función se expresa como y = f(x), donde:

• y = variable dependiente
• f = en función de
• x = variable independiente

Definición de Derivada y Reglas Generales de Derivación

Definición de Derivada

La derivada se define como la variación o cambio en el valor de una variable 'y' (dependiente) debido a una variación unitaria en el valor de la variable 'x' (independiente). En términos generales, la derivada de una función expresa una relación de cambios o incrementos.

Es decir, el incremento o variación de una variable entre el incremento o variación de otra, y se expresa en: ΔY/Δx o ∂y/∂x.

Δ = delta mayúscula o simplemente por 'D', que significa diferencial. 'd' es la letra minúscula de Δ en el alfabeto griego.

Es importante tener presente que la variación de la variable X (independiente) tiene un límite, es decir, que se acerca o tiende a cero, y se expresa de la siguiente forma: ΔX → 0

Por lo tanto: dy/dx = límite Δy/Δx cuando Δx → 0. La expresión anterior se lee: la derivada de Y con respecto a X es igual al límite del cociente del incremento en Y dividido por el incremento de X a medida que el incremento en X tiende a cero.

Reglas Generales de Derivación

La derivación es el proceso por el cual se determina la derivada de una función, es decir, encontrar la variación en Y por un cambio o variación en X cuando el cambio en X tiende o se acerca a cero (Δx → 0), siendo Y y X las variables de la función.

Regla 1: Función Constante

La derivada de una función constante y = f(x) = a es igual a cero para todos los valores de 'a' (la constante). Es decir, teniendo la función y = f(x) = a, su derivada es dy/dx = 0.

Regla 2: Función Exponencial

La derivada de una función exponencial y = ax^b, donde 'a' y 'b' son constantes y 'x' es la variable independiente, es igual al exponente de la función (b) multiplicado por el coeficiente de la variable independiente de la función (a) por la variable 'x' elevada al exponente b-1 (x^b-1).

Regla 3: Funciones de Suma y Diferencia

La derivada de una función de suma o resta es igual a la suma o resta de las derivadas de cada uno de los términos de la función. Es decir, siendo U = q(x) y V = h(x), entonces la función será: Y = U ± V. Su derivada será: dy/dx = dU/dx ± dV/dx.

Regla 4: Función del Producto

La derivada de la función del producto de dos términos o expresiones es igual a la primera expresión o término multiplicado por la derivada de la segunda expresión o término, más la segunda expresión o término multiplicado por la derivada de la primera expresión o término. Sea la función y = U.V, donde U = g(x) y V = h(x).

Regla 5: Función Cociente

La derivada del cociente de dos expresiones o términos es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado. Por lo tanto, para la función y = U/V.

Regla 6: Derivada de la Función de una Función (Regla de la Cadena)

Si y = f(U) y U = g(x), entonces la derivada de 'y' con respecto a 'x' es igual a la derivada de 'y' con respecto a 'U' multiplicada por la derivada de 'U' con respecto a 'x'.

Aplicaciones de la Primera Derivada en Economía

La primera derivada de una función tiene aplicaciones en problemas de economía relacionados con los conceptos de:

• Costo Marginal
• Ingreso Marginal

A nivel microeconómico y en el campo de la macroeconomía, la primera derivada tiene aplicaciones en el estudio de los conceptos de:

• Propensión marginal al ahorro (PMA = ΔA/ΔI)
• Propensión marginal al consumo (PMC = ΔC/ΔI)

Cuando se estudia economía, se analiza la variación en la cantidad de una variable (y) con respecto a la variación en la cantidad de otra variable (x), en términos de valor medio o promedio y de valor marginal.

Aplicaciones en Microeconomía

En el estudio de la microeconomía, se analiza la producción aplicando los conceptos de:

• Producto total (PT)
• Producto medio (PM)
• Producto marginal (PMa)

Aplicaciones en la Teoría de Costos

En el estudio de la teoría de los costos, se analizan los conceptos de:

• Ingreso total (IT)
• Ingreso medio (IMe)
• Ingreso marginal (IMa)
• Costo total (CT)
• Costo medio (CMe)
• Costo marginal (CMa)