1r Trimestre
1.- a) Equació recta tangentf(x)=xex-1
y=f'(a) (x-a)+ f(a) f(a)=f(1)=1e0=1
f(x)= xex-1 a=1 f'(a)= f'(1)=2e0=2
f'(x)= 1·ex-1 + x·ex-1=(1+x) ex-1y=2(x-1)+1 y=2x-1
b) Intervals La funció creixerà si la derivada és + i decreixerà si la derivada és -
f'(x)=1·ex-1 + x·ex-1 Si x<-1---->1+x<0-----> f'(x)<0, decreixent
f'(x)=0 1+x=0 x=1 Si x>-1---->1+x>0-----> f'(x)>0, creixent
La funció es creixent en l'interval (-1,&), i es decreixent en (-&,-1)
2.- a) Màxims i mínims i punts d'inflexió f(x)=2x3-9x2+12x-4
f(x)= 2x3-9x2+12x-4
f'(x)= 6x2-18x+12 f'(x)=0----> 6x2 -18x+12=0 x=1; x=2
f''(x)= 12x-18 f''(1)= -6<0----> Màx relatiu en M= (1,f(1))=(1,1)
f''(2)=6>0----> Min relatiu en m= (2,f(2))=(2,0)
f''(x)=0 12x-18=0----> x=3/2
Si x<3/2----> f''(x)<0 i, per tant la funció es concavaSi x>3/2----> f''(x)>0 i, per tant la funció es convexaPunt d'inflexió en el punt (3/2), f(3/2))=(3/2, 1/2)b) Explica
Si la funció f admet derivada primera contínua i f'(a)>0 i f'(b)<0, podem aplicar el teorema de Bolzano a la funció f' en l'interval la,bl ja que es tracta d'una funció contínua en un interval que canvia de signe entre els extrems. Aquest teorema diu que hi ha, com a mínim, un punt en l'interval la,bl en que la funció s'anul·la.
3.- a) Àrea portalada d'una catedralf(x,y)=nx2+xy
n·(x/2)2/2 + xy= nx2+xyb) P=20m, determinan·x/2+2xy+x=20 n+2/2·x +2y=20
A(x)= (nx2/8) +x (10-(n+2/4)·x= n/8·x(n+2/4)·x
A'(x)= -n+4/4·x +10 x=40/n+4A'(x)=0 A"(x)= -n+4/4 < 0
Quan x=40/n+4 y= 10-(n+2/4)·40/n+4=
4.- a) Comprova S(x)=V4x2-x4x2+y2=4----> y= V4-x2 S(x)= x·V4-x2= V4x2-x4b) Calcula x i yr(x)=4x2-x4 r'(x)=0 4x(2-x2)=0r'(x)=8x-4x3 x=0, V2, -V2r"(x)=8-12x2 Unica solució possible és x=V2r"(V2)= 8-12(V2)2=8-24<0 en x=V2 la superfície és màximay=4-V22=V4-2=V2El valor màxim és S(V2)=V2·V2=2u
6.-a) Calcula f(x) f'(x)=(x+1)ex f(0)=2u=x+1 ; du=dx ; dv=ex dx ; v=exf(x)=S(x+1)ex dx=uv-vdu=(x+1)ex-Sexdx=(x+1)ex-ex=xex+ex-ex=xee+kCom que f(0)=2 2=f(0)=0e0 k=k i per tant f(x)=xex+2b) Àrea de la regió plana y=x3 recta y=3x-2x3=3x-2 x3-3x+2=0Ruffini
x3-3x+2=(x-1)2·(x+2)=0 El valor de la corba en x=0 es 0
x=-2l El valor de la recta es -2x=1 l Punts de tall
S1-2(x3-(3x-2)) dx= S1-2 (x3-3x+2)dx= (x4/4 -3·x2/2 +2x) l1-2 = (1/4 - 3/2 + 2) - (4-6-4)= 3/4 +6= 27/4 u2
catalán con un tamaño de 5,08 KB