Aproximación Numérica y Resolución de Ecuaciones Diferenciales: Aplicaciones en Ingeniería

Aproximación Numérica y Resolución de Ecuaciones Diferenciales

Aproximación Funcional

Grado del polinomio: Número de datos - 1. Si tenemos la derivada, cuenta como otro dato. Sustituimos: P(x) = a₀ + a₁x + a₂x². Cuando tenemos los resultados, ya tenemos el polinomio en forma de ecuación (P(x) = ...).

Ajuste por Mínimos Cuadrados

Matricialmente (sistema de ecuaciones normales) de grado M:

• Fila 1: n + 1 (x₀ no cuenta), Σx_i, ..., Σx_i^M
• Fila 2: Σx_i, ..., Σx_i^M+1
• Filas: Así hasta Σx_i^2M

(Σx_i^j) x (a₀ hasta a_M) = (Σy_i, Σx_iy_i, ..., Σx_i^My_i)

Una exponencial se puede linealizar aplicando logaritmos. Ejemplo: y = a exp(bx). Entonces, log y = log a + bx. De esta forma, como recta Y = A + BX, donde:

• Y = log y
• A = log a
• B = b

Después, cuando resolvemos el sistema de ecuaciones normales:

• a = exp A
• b = B

Splines C²

Ejemplo con 3 puntos: ¿Qué debe cumplir? Continuidad de S(x), la de la derivada y la de la segunda derivada en los puntos interiores. En el ejemplo, en x₁: S₀(1) = S₁(1), y así con la primera derivada y la segunda (con cada ecuación, eliminamos 1 parámetro). S(x) se define a trozos:

• S₀(x) = a₀(x - x₀)³ + b₀(x - x₀)² + c₀(x - x₀) + d₀. Intervalo (x₀, x₁)
• S₁(x) = a₁(x - x₁)³ + b₁(x - x₁)² + c₁(x - x₁) + d₁. Intervalo (x₁, x₂)

Para determinar los coeficientes, usamos las condiciones:

• S₀(x₀) = y₀
• S₁(x₁) = y₁
• S₁(x₂) = y₂

Spline C⁰

Se definen los intervalos de la misma forma, pero la forma de S_i(x) es: S_i(x) = A_ix + B_i. Otra forma más sencilla es: S_i(x) = a_i(x - x_i) + b_i. Para determinar los coeficientes, aplicamos dos condiciones:

• S_i(x_i) = y_i
• S_i(x_i+1) = y_i+1

(i = 0, 1, 2 en caso de 4 puntos y 3 intervalos).

Spline C¹

Primero aproximamos las derivadas. Después calculamos los coeficientes:

• S_i(x_i) = y_i
• S'_i(x_i) = dy_i
• S_i(x_i+1) = y_i+1
• S'_i(x_i+1) = dy_i+1

Ejemplo: Intervalo i = 0: S₀(x) = a₀(x - x₀)³ + b₀(x - x₀)² + c₀(x - x₀) + d₀. Para verificarlo en los nudos interiores, por ejemplo, i = 0, 1 y i = 2 (último intervalo):

• S_i-1(x_i) = S_i(x_i)
• S'_i-1(x_i) = S'_i(x_i)

Así se verifica que el spline y su derivada son continuos en los puntos interiores. Por lo tanto, el spline es C¹.

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

Ejemplo: d²y/dx² = y - x, y(0) = 1, dy/dx(0) = 2. Primero definimos las variables z₁ = y, z₂ = dy/dx. Sus derivadas son:

• dz₁/dx = dy/dx = z₂
• dz₂/dx = d²y/dx² = y - x = z₁ - x

Lo podemos expresar de la siguiente manera: dz/dx = f(x, z), z(0) = z₀, con:

• z = (z₁, z₂)^T
• f(x, z) = (z₂, z₁ - x)^T
• z₀ = (z₁(0), z₂(0))^T = (1, 2)^T

Ahora resolvemos utilizando, por ejemplo, el método de Euler.

Métodos para Resolver Ecuaciones Diferenciales

Método de Euler

Y_i+1 = Y_i + hF(x_i, Y_i)

Método de Euler Modificado

Y* = Y_i + (h/2)F(x_i, Y_i), Y_i+1 = Y_i + hF(x*, Y*) (donde x* = x_i + h/2)

Método de Heun

Y* = Y_i + hF(x_i, Y_i), Y_i+1 = Y_i + (h/2)(F(x_i, Y_i) + F(x_i+1, Y*))

Error Global

E = |Y_n - y(b)|

¿Cuándo Utilizar el Método de Simpson Compuesto?

Cuando tenemos un número impar de puntos, y se requiere el punto intermedio de cada subintervalo centrado.

Aplicación Práctica: Cálculo del Perímetro Mojado y Calado en un Canal Parabólico

Objetivo: Calcular el perímetro mojado de un canal parabólico con α = 0.5, altura H = 4 m y pendiente máxima de la sección Z = 0.577. Primero, se asume un calado de 1 m y se determina el número de subintervalos necesarios para cumplir una tolerancia de 0.5 x 10^-6. Luego, se genera un listado de caudales para representación gráfica. También se calcula el calado para un caudal Q = 30 m³/s y se dibuja una gráfica de convergencia del método iterativo. Finalmente, se aproxima linealmente una serie de datos para calcular el área y el perímetro mojado del canal para un calado y = 2 m. Se utilizan los métodos de Simpson, trapecio, secante y aproximación por mínimos cuadrados.

Procedimiento

Ejercicio 1: Se programa un subprocedimiento que, mediante los métodos de Simpson y del trapecio, calcula y muestra en la Hoja 1 los errores (diferencia entre el valor real y el calculado) al calcular el valor real de la integral, que representa el perímetro mojado del canal, según el número de subintervalos utilizados. El valor real de la integral se calcula manualmente.

Subprocedimiento: Calcular Perímetro Mojado

Con una tolerancia de 0.5 x 10^-6, se observa en la lista de errores de la Hoja 1 que, con el método de Simpson, se necesitan 3 subintervalos. Dado que este método utiliza 4 puntos, se requieren un total de 12 subintervalos para cumplir la tolerancia. Con el método del trapecio, se necesitan 330 subintervalos, lo que implica un total de 660 subintervalos para alcanzar la tolerancia.

Ejercicio 2: Se crea un subprocedimiento que escribe en la primera columna de la Hoja 2 una lista de posibles calados, desde 0.05 m hasta 5 m. Este subprocedimiento lee el calado (columna 1), calcula el caudal a partir de la fórmula de Manning y escribe este caudal en la columna 2 de la Hoja 2. A partir de estos datos, se obtiene una gráfica que relaciona el calado con el caudal.

Subprocedimientos:

• Escribe Lista Calados y Caudales
• Calcula Calado cuando Caudal es 30 m³/s

Gráfica de Convergencia

Para un caudal de 30 m³/s, se observa en la lista de caudales que el calado debe estar entre 2.9 m y 2.95 m. El subprocedimiento Calcula Calado cuando Caudal es 30 m³/s determina que el calado exacto es aproximadamente 2.90922019107467 m, como se muestra en el Message Box del programa. Se elige una tolerancia de 1 mm por ser un valor pequeño en comparación con los errores de medición y cálculo.

Ejercicio 3: Se resuelve una aproximación lineal utilizando el método de mínimos cuadrados. La gráfica inferior representa los valores X e Y del enunciado.

Resultados Obtenidos

Para un calado de 1 m, el perímetro mojado es 5.1415813... m. Este valor sería superior si la base fuese rectangular para el mismo calado. Para un caudal de 30 m³/s, el calado necesario es 2.9092 m, un valor que se encuentra dentro del intervalo esperado.

Conclusiones

Se ha estudiado un canal parabólico, centrándose en el cálculo de su perímetro mojado y su calado normal, es decir, su capacidad. Se han resuelto problemas relacionados con el canal parabólico a través del cálculo de diferentes apartados del trabajo, donde se han calculado los principales elementos a la hora de construir un canal. Si se tuvieran datos de un canal trapezoidal, se podría determinar cuál es más eficiente.